Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x 0<x≠1 thỏa mãn alogbx=blogax2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P=ln2a+ln2b−lnab. A. 1−334 B. e2 C. 14 D. −3+2212

Đáp án D Có 1<a,b,0<x≠1 Có alogbx=blogax2⇔alogba.logax=b2logax⇔alogax.logba=b2logax ⇔xlogba=x2logab⇔logba=2logab⇔logba=21logba ⇔logba2=2⇔logba=2 (do 1<a,b , nên logba>0 ) .⇔a=b2 Có P=ln2a+ln2b−ln(ab)=lnb22+ln2b−lnb2b . =2ln2b+ln2b−2+1lnb=3ln2b−2+1lnb. Đặt t=lnb , t>0 (do b>1 ). Xét hàm số y=ft=3t2−2+1t , với t>0 . Có f't=6t−2+1 ,f't=0⇔6t−2+1=0 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên có minP=min0;+∞ft=−3+2212 khi t=2+16 Vậy minP=−3+2212

Câu hỏi:

19/04/2022 151

Cho hai số thực $a, b > 1$ sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

A. $\frac{1 - 3 \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{e}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $- \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Có $1 < a, b,0 < x \neq 1$

Có $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}} \Leftrightarrow a^{\log_{b} a . \log_{a} x} = b^{2 \log_{a} x} \Leftrightarrow a^{\log_{a} x . \log_{b} a} = b^{2 \log_{a} x}$

$\Leftrightarrow x^{\log_{b} a} = x^{2 \log_{a} b} \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \log_{a} b \Leftrightarrow \log_{b} a = 2 \frac{1}{\log_{b} a}$

$\Leftrightarrow {(\log_{b} a)}^{2} = 2 \Leftrightarrow \log_{b} a = \sqrt{2}$

(do $1 < a, b$ , nên $\log_{b} a > 0$ ) . $\Leftrightarrow a = b^{\sqrt{2}}$

Có $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b) = {(\ln b^{\sqrt{2}})}^{2} + \ln^{2} b - \ln (b^{\sqrt{2}} b)$ .

$= 2 \ln^{2} b + \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b = 3 \ln^{2} b - (\sqrt{2} + 1) \ln b .$

Đặt $t = \ln b$ , $t > 0$ (do $b > 1$ ).

Xét hàm số $y = f (t) = 3 t^{2} - (\sqrt{2} + 1) t$ , với $t > 0$ .

Có $f^{'} (t) = 6 t - (\sqrt{2} + 1)$ , $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 6 t - (\sqrt{2} + 1) = 0$

Bảng biến thiên

Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 sao cho luôn tồn tại số thực x (0 nhỏ hơn x khác 1 thỏa mãn (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên có $\min P = \min_{(0; + \infty)} f (t) = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$ khi $t = \frac{\sqrt{2} + 1}{6}$

Vậy $\min P = - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{12}$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là $S_{n} = \frac{3 n^{2} - 19 n}{4}$ với $n \in ℕ^{*}$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đã cho.

A. $u_{1} = 2$ ; $d = - \frac{1}{2}$

B. $u_{1} = - 4$ ; $d = \frac{3}{2}$

C. $u_{1} = - \frac{3}{2}$ ; $d = - 2$

D. $u_{1} = \frac{5}{2}$ ; $d = \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 18/04/2022 22,366

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} + m x^{2}$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

A. $m \leq 0$

B. $m = 0$

C. $m \geq 0$

D. $m > 0$

Xem đáp án » 18/04/2022 13,200

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x^{2} - m}$ có đúng một tiệm cận đứng.

A. $[\begin{array}{l} m > 0 \\ m < - 4 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 4 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m > 0 \\ m \leq - 4 \end{array}$

D. $m \in ℝ$

Xem đáp án » 19/04/2022 5,779

Câu 4:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$ , tiệm cận ngang $y = 1$

B. Hàm số có hai cực trị

C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận

D. Hàm số đồng biến trong khoảng $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$

Xem đáp án » 18/04/2022 5,213

Câu 5:

Cho hàm số $f (x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số $y = f (2 x + 1) + \frac{2}{3} x^{3} - 8 x + 5$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; - 2)$

C. $(- 1; \frac{1}{2})$

D. $(- 1; 7)$

Xem đáp án » 19/04/2022 4,358

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và hai điểm $A (- 1; 3; 1)$ ; $B (0; 2; - 1)$ . Gọi $C (m; n; p)$ là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng $2 \sqrt{2}$ . Giá trị của tổng $m + n + p$ bằng

A. $- 1$

B. 2

C. 3

D. $- 5$

Xem đáp án » 19/04/2022 4,341

Câu 7:

Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của $B^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên $B B^{'}$ hợp với đáy $(A B C)$ góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là

A. $\frac{3 a}{2 \sqrt{13}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{13}}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{13}}$

D. $\frac{3 a}{\sqrt{13}}$

Xem đáp án » 19/04/2022 4,031

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hai số thực $a, b > 1$ sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

Nhà sách VIETJACK:

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là $S_{n} = \frac{3 n^{2} - 19 n}{4}$ với $n \in ℕ^{*}$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đã cho.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} + m x^{2}$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x^{2} - m}$ có đúng một tiệm cận đứng.

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f (x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số $y = f (2 x + 1) + \frac{2}{3} x^{3} - 8 x + 5$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x 0<x≠1 thỏa mãn alogbx=blogax2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P=ln2a+ln2b−lnab.

Nhà sách VIETJACK:

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là Sn=3n2−19n4 với n∈ℕ* . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng đã cho.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=x4+mx2 đạt cực tiểu tại x=0.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x+1x3−3x2−m có đúng một tiệm cận đứng.

Cho đồ thị hàm số y=fx như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số fx có bảng xét dấu của đạo hàm như sau Hàm số y=f2x+1+23x3−8x+5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x+12=y1=z−2−1 và hai điểm A−1;3;1 ;B0;2;−1 . Gọi Cm;n;p là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 22 . Giá trị của tổng m+n+p bằng

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên BB' hợp với đáy ABC góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC'B' là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số thực $a, b > 1$ sao cho luôn tồn tại số thực x $(0 < x \neq 1)$ thỏa mãn $a^{\log_{b} x} = b^{\log_{a} x^{2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \ln^{2} a + \ln^{2} b - \ln (a b)$ .

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là $S_{n} = \frac{3 n^{2} - 19 n}{4}$ với $n \in ℕ^{*}$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đã cho.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} + m x^{2}$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x^{2} - m}$ có đúng một tiệm cận đứng.

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f (x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số $y = f (2 x + 1) + \frac{2}{3} x^{3} - 8 x + 5$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?