Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f0=1 , ∫01f'x2dx=130 ,∫012x−1fxdx=−130 . Tích phân ∫01fxdx bằng A. 1112 B. 114 C. 130 D. 1130

Đáp án A Đặt u=fxdv=2x−1dx⇒du=fxdxv=x2−x ⇒−130=∫012x−1fxdx=x2−xfx10−∫01x2−xf'xdx=−∫01x2−xf'xdx ⇒∫01x2−xf'xdx=130. Ta có: ∫01x2−x2dx=∫01x4−2x3+x2dx=x55−x42+x3310=130 . Do đó, ∫01f'x−x2−x2dx=∫01f'x2dx−2∫01x2−xfxdx+∫01x2−x2dx=0 ⇒f'x=x2−x⇒fx=x33−x22+C, mà f0=1 nên C=1⇒fx=x33−x22+1 Vậy ∫01fxdx=∫01x33−x22+1dx=x412−x36+x10=1112

Câu hỏi:

19/04/2022 194

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1]$ thỏa mãn $f (0) = 1$ , $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{1}{30}$ , $\int_{0}^{1} (2 x - 1) f (x) d x = - \frac{1}{30}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{11}{12}$

B. $\frac{11}{4}$

C. $\frac{1}{30}$

D. $\frac{11}{30}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Đặt $\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = (2 x - 1) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f (x) d x \\ v = x^{2} - x \end{cases}$

$\Rightarrow - \frac{1}{30} = \int_{0}^{1} (2 x - 1) f (x) d x = (x^{2} - x) f (x) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} - \int_{0}^{1} (x^{2} - x) f^{'} (x) d x = - \int_{0}^{1} (x^{2} - x) f^{'} (x) d x$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} (x^{2} - x) f^{'} (x) d x = \frac{1}{30}$ .

Ta có: $\int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) d x = (\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = \frac{1}{30}$ .

Do đó, $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x) - (x^{2} - x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x - 2 \int_{0}^{1} (x^{2} - x) f (x) d x + \int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x = 0$

$\Rightarrow f^{'} (x) = x^{2} - x \Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + C$ , mà $f (0) = 1$ nên $C = 1 \Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 1$

Vậy $\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 1) d x = (\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{6} + x) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = \frac{11}{12}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là $S_{n} = \frac{3 n^{2} - 19 n}{4}$ với $n \in ℕ^{*}$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đã cho.

A. $u_{1} = 2$ ; $d = - \frac{1}{2}$

B. $u_{1} = - 4$ ; $d = \frac{3}{2}$

C. $u_{1} = - \frac{3}{2}$ ; $d = - 2$

D. $u_{1} = \frac{5}{2}$ ; $d = \frac{1}{2}$

Lời giải

Đáp án B.

Ta có $\frac{3 n^{2} - 19 n}{4} = \frac{3}{4} n^{2} - \frac{19}{4} n = S_{n} = n u_{1} + \frac{n^{2} - n}{2} d = \frac{d}{2} n^{2} + (u_{1} - \frac{d}{2}) n$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{d}{2} = \frac{3}{4} \\ u_{1} - \frac{d}{2} = - \frac{19}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 4 \\ d = \frac{3}{2} \end{cases}$ .

Câu 2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} + m x^{2}$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

A. $m \leq 0$

B. $m = 0$

C. $m \geq 0$

D. $m > 0$

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $y = x^{4} + m x^{2} \Rightarrow y^{'} = 4 x^{3} + 2 m x = 2 x (2 x^{2} + m)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x (2 x^{2} + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = \frac{- m}{2} \end{array}$

• Nếu $m \geq 0$ ta có bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^4 + mx^2 đạt cực tiểu tại x = 0 (ảnh 1)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

• Nếu $m < 0$ ta có bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^4 + mx^2 đạt cực tiểu tại x = 0 (ảnh 2)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại

x = 0

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi $m \geq 0$ .

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và hai điểm $A (- 1; 3; 1)$ ; $B (0; 2; - 1)$ . Gọi $C (m; n; p)$ là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng $2 \sqrt{2}$ . Giá trị của tổng $m + n + p$ bằng

A. $- 1$

B. 2

C. 3

D. $- 5$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của $B^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên $B B^{'}$ hợp với đáy $(A B C)$ góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là

A. $\frac{3 a}{2 \sqrt{13}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{13}}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{13}}$

D. $\frac{3 a}{\sqrt{13}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x^{2} - m}$ có đúng một tiệm cận đứng.

A. $[\begin{array}{l} m > 0 \\ m < - 4 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 4 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m > 0 \\ m \leq - 4 \end{array}$

D. $m \in ℝ$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của $A (1; 1; 1)$ lên đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases}$

A. $H (\frac{4}{3}; \frac{4}{3}; \frac{1}{3})$

B. $H (1; 1; 1)$

C. $H (0; 0; - 1)$

D. $H (1; 1; 0)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$ , tiệm cận ngang $y = 1$

B. Hàm số có hai cực trị

C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận

D. Hàm số đồng biến trong khoảng $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f0=1 , ∫01f'x2dx=130 ,∫012x−1fxdx=−130 . Tích phân ∫01fxdx bằng

Bình luận

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là Sn=3n2−19n4 với n∈ℕ* . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng đã cho.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=x4+mx2 đạt cực tiểu tại x=0.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x+12=y1=z−2−1 và hai điểm A−1;3;1 ;B0;2;−1 . Gọi Cm;n;p là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 22 . Giá trị của tổng m+n+p bằng

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên BB' hợp với đáy ABC góc 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC'B' là

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x+1x3−3x2−m có đúng một tiệm cận đứng.

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của A1;1;1 lên đường thẳng d: x=1+ty=1+tz=t

Cho đồ thị hàm số y=fx như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 1]$ thỏa mãn $f (0) = 1$ , $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{1}{30}$ , $\int_{0}^{1} (2 x - 1) f (x) d x = - \frac{1}{30}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là $S_{n} = \frac{3 n^{2} - 19 n}{4}$ với $n \in ℕ^{*}$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đã cho.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{4} + m x^{2}$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3 x^{2} - m}$ có đúng một tiệm cận đứng.

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của $A (1; 1; 1)$ lên đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases}$

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?