Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ . Nếu phương trình $f\left(x\right)=0$  có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $2f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2$  có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Đáp án D

Xét phương trình $2f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2\iff 2f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)-{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2=0$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)-{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2$với mọi $x\in ℝ$

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)-2f\left(x\right)f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)-2f\text{'}\left(x\right)f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-2f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)$

Mặt khác:

+ Có $f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=-6$

+ Gọi $x_1<x_2<x_3$  là ba nghiệm của phương trình: $f\left(x\right)=0$.

Khi đó $g\text{'}\left(x\right)=0\iff -2f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x\right)=0\iff f\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1\\ x=x_2\\ x=x_3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình $f\left(x\right)=0$ có ba nghiệm phân biệt nên ta có $f\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$  thì $f\text{'}\left(x\right)=\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)+\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)+\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

Suy ra $-\left[f\text{'}{\left(x_2\right)}^2\right]=-{\left[\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)\right]}^2<0$  nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$  cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình $g\left(x\right)=0$  có tối đa hai nghiệm.