Cho các số phức z1,z2,z thỏa mãn z1=z2=2, z1−z2=22 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+z−z1+z−z2 là A. 22+2 B.22+3 C.2+3 D. 4+3

Đáp án B Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1,z2,z. Dựa vào điều kiện 2z1=2z2=z1−z2=22⇒OA=OB=2, AB=22. Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O. Phép quay tâm B góc quay -60° ta có: QB,−60°:A↦A';M↦M'. Do tam giác ΔBMM' đều ⇒AM=A'M', BM=MM'. Suy ra P=z+z−z1+z−z2=OM+AM+BM=OM+MM'+A'M'≥OA'. Dấu “=” xảy ra khi O,M,M',A' thẳng hàng. Khi đó tam giác OBA' có OB=2, BA'=BA=22 và OBA'^=105°. Từ đó suy ra OA'=OB2+BA'2−2OB.BA' .cos105°=22+3. Vậy minP=22+3.

Câu hỏi:

20/04/2022 627

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}, z$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = 2, |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2}$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|$ là

A. $2 \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

B. $2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

C. $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

D. $\sqrt{4 + \sqrt{3}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_{1}, z_{2}, z$ .

Cho các số phức z1;z2;z3 thỏa mãn |z1|=|z2|=2|z1-z2|= 2căn bậc hai 2 . (ảnh 1)

Dựa vào điều kiện $\sqrt{2} |z_{1}| = \sqrt{2} |z_{2}| = |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2} \Rightarrow O A = O B = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ .

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.

Phép quay tâm B góc quay -60° ta có: $Q_{(B, - 60 °)} : A \mapsto A^{'}; M \mapsto M^{'}$ .

Do tam giác $Δ B M M^{'}$ đều $\Rightarrow A M = A^{'} M^{'}, B M = M M^{'}$ .

Suy ra $P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}| = O M + A M + B M = O M + M M^{'} + A^{'} M^{'} \geq O A^{'}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $O, M, M^{'}, A^{'}$ thẳng hàng.

Khi đó tam giác $O B A^{'}$ có $O B = 2, B A^{'} = B A = 2 \sqrt{2}$ và $\hat{O B A^{'}} = 105 °$ .

Từ đó suy ra $O A^{'} = \sqrt{O B^{2} + B {A^{'}}^{2} - 2 O B . B A^{'} . \cos 105 °} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ . Vậy $\min P = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $3 \log_{3} (x - 1) - \log_{\frac{1}{3}} {(x - 5)}^{3} = 3$ bằng

A. $36$

B.32

C. $16 - 6 \sqrt{7}$

D. $16 + 6 \sqrt{7}$

Lời giải

Đáp án D

Điều kiện: $x > 5$ .

Ta có: $3 \log_{3} (x - 1) - \log_{\frac{1}{3}} {(x - 5)}^{3} = 3 \Leftrightarrow 3 \log_{3} (x - 1) + 3 \log_{3} (x - 5) = 3$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x - 1) + \log_{3} (x - 5) = 1 \Leftrightarrow \log_{3} [(x - 1) (x - 5)] = 1 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 5) = 3$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{7}$ .

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x = 3 + \sqrt{7} \Rightarrow x^{2} = 16 + 6 \sqrt{7}$ .

Câu 2

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội $q > 0, u_{2} = 4, u_{4} = 9$ , giá trị của $u_{5}$ bằng

A. $\frac{81}{4}$

B. $\frac{- 27}{2}$

C. $6$

D. $\frac{27}{2}$

Lời giải

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} u_{4} = u_{1} . q^{3} \\ u_{2} = u_{1} . q \end{cases} \Rightarrow q^{2} = \frac{u_{4}}{u_{1}} = \frac{9}{4} \Rightarrow q = \frac{3}{2}$ .

Suy ra $u_{5} = u_{4} . q = \frac{27}{2}$ .

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 8 = 0$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ trên đoạn $[1; 3]$ . Giá trị $T = 2 M + m$ bằng

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $y = 25$ . Ông An dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn bằng $\frac{9}{2}$ .

A. $O M = 2 \sqrt{5}$

B. $O M = 15$

C. $O M = 10$

D. $O M = 3 \sqrt{10}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’B’ vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD); góc giữa đường thẳng AA’ với (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và DD’ bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (BC’B’C) và mặt phẳng (CC’DD’) bằng 60°. Thể tích khối hộp đã cho bằng

A. $2 \sqrt{3}$

B.2

C. $\sqrt{3}$

D. $3 \sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (3; - 4; 5), B (- 5; 6; - 7)$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y + z - 10 = 0$ . Gọi M(a,b,c) là điểm thuộc (P) sao cho có giá trị lớn nhất. Tổng a+b+c bằng

A. 29

B. 1

C. 7

D. 23

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số phức z1,z2,z thỏa mãn z1=z2=2, z1−z2=22 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+z−z1+z−z2 là

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 3log3x−1−log13x−53=3 bằng

Cho cấp số nhân un có công bội q>0, u2=4, u4=9 , giá trị của u5 bằng

Cho hàm số fx có bảng biến thiên như sau Số nghiệm thực của phương trình 2fx−8=0 là

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3−3x2+3 trên đoạn 1;3 . Giá trị T=2M+m bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;−4;5, B−5;6;−7 và mặt phẳng P:3x+2y+z−10=0 . Gọi M(a,b,c) là điểm thuộc (P) sao cho có giá trị lớn nhất. Tổng a+b+c bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}, z$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = 2, |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2}$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|$ là

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $3 \log_{3} (x - 1) - \log_{\frac{1}{3}} {(x - 5)}^{3} = 3$ bằng

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có công bội $q > 0, u_{2} = 4, u_{4} = 9$ , giá trị của $u_{5}$ bằng

Cho hàm số $f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 8 = 0$ là

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ trên đoạn $[1; 3]$ . Giá trị $T = 2 M + m$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (3; - 4; 5), B (- 5; 6; - 7)$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y + z - 10 = 0$ . Gọi M(a,b,c) là điểm thuộc (P) sao cho có giá trị lớn nhất. Tổng a+b+c bằng