Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tích phân ∫02xf'xdx bằng: A. −103 B. −53 C. −113 D. −73

Phương pháp: - Áp dụng tích phân từng phần với ∫02xf'xdx. - Từ giả thiết f0=3,fx+f2−x=x2−2x+2 tính f(2) - Lấy tích phân hai vế biểu thức fx+f2−x=x2−2x+2. - Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính J=∫02f2−xdx, từ đó tính ∫02fxdx và tính I. Cách giải: Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx. ⇒I=∫02xf'xdx=xfx20−∫02fxdx Theo bài ra ta có: f0=3,fx+f2−x=x2−2x+2. ⇒f0+f2=2⇒f2=2−f0=2−3=−1. ⇒I=2f2−∫02fxdx=2−∫02fxdx. Lấy tích phân hai vế biểu thức fx+f2−x=x2−2x+2 ta có ∫02fxdx+∫02f2−xdx=∫02x2−2x+2dx=83. Xét J=∫02f2−xdx, đặt t=2−x⇒dt=−dx. Đổi cận x=0⇒t=2x=2⇒t=0. ⇒J=−∫20ftdt=∫02fxdx. ⇒∫02fxdx=83⇔∫02fxdx=43. Vậy ⇒I=−2−43=−103. Chọn A.

Câu hỏi:

06/05/2022 400

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn f(0) = 3 và $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in ℝ .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f' (x) d x$ bằng:

A. $- \frac{10}{3}$

B. $- \frac{5}{3}$

C. $- \frac{11}{3}$

D. $- \frac{7}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Áp dụng tích phân từng phần với $\int_{0}^{2} x f' (x) d x .$

- Từ giả thiết $f (0) = 3, f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2$ tính f(2)

- Lấy tích phân hai vế biểu thức $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2.$

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính $J = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x,$ từ đó tính $\int_{0}^{2} f (x) d x$ và tính I.

Cách giải:

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases} .$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{2} x f' (x) d x = x f (x) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{2} f (x) d x$

Theo bài ra ta có: $f (0) = 3, f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2.$

$\Rightarrow f (0) + f (2) = 2 \Rightarrow f (2) = 2 - f (0) = 2 - 3 = - 1.$

$\Rightarrow I = 2 f (2) - \int_{0}^{2} f (x) d x = 2 - \int_{0}^{2} f (x) d x .$

Lấy tích phân hai vế biểu thức $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2$ ta có

$\int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{0}^{2} f (2 - x) d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x + 2) d x = \frac{8}{3} .$

Xét $J = \int_{0}^{2} f (2 - x) d x,$ đặt $t = 2 - x \Rightarrow d t = - d x .$ Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = 0 \end{cases} .$

$\Rightarrow J = - \int_{2}^{0} f (t) d t = \int_{0}^{2} f (x) d x .$

$\Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{4}{3} .$

Vậy $\Rightarrow I = - 2 - \frac{4}{3} = - \frac{10}{3} .$

Chọn A.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho các số thực dương a, b khác 1 thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{b} 16$ và ab = 64. Giá trị của biểu thức ${(\log_{2} \frac{a}{b})}^{2}$ bằng:

A. $\frac{25}{2}$

B. 20

C. 25

D. 32

Lời giải

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức

$\log_{a} x^{m} = m \log_{a} x (0 < a \neq 1, x > 0)$

$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} (0 < a, b \neq 1)$

$\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y (0 < a \neq 1, x, y > 0) .$

$\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y (0 < a \neq 1, x, y > 0) .$

- Tìm $\log_{2} a . \log_{2} b, \log_{2} a + \log_{2} b .$

- Sử dụng biến đổi ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b .$

Cách giải:

Ta có:

$\{\begin{cases} \log_{2} a = \log_{b} 16 \\ a b = 64 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{2} a = 4 \log_{b} 2 = \frac{4}{\log_{2} b} \\ \log_{2} (a b) = \log_{2} 64 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{2} a . \log_{2} b = 4 \\ \log_{2} a + \log_{2} b = 6 \end{cases}$

Vậy ${(\log_{2} \frac{a}{b})}^{2} = {(\log_{2} a - \log_{2} b)}^{2} = {(\log_{2} a + \log_{2} b)}^{2} - 4 \log_{2} a . \log_{2} b = 6^{2} - 4.4 = 20.$

Chọn B.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) và đi qua điểm A(0; 4; -1) là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

Lời giải

Phương pháp:

- Tính bán kính mặt cầu $R = I A = \sqrt{{(x_{A} - x_{I})}^{2} + {(y_{A} - y_{I})}^{2} + {(z_{A} - z_{I})}^{2}}$

- Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình là ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2} .$

Cách giải:

Bán kính mặt cầu là $R = I A = \sqrt{{(0 + 1)}^{2} + {(4 - 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = 3.$

Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R = 3 là: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Chọn D.

Câu 3

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tích là một số lẻ bằng:

A. $\frac{11}{42}$

B. $\frac{9}{42}$

C. $\frac{121}{210}$

D. $\frac{1}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 1; 1), B (2; 1; 0), C (2; 0; 2) .$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\vec{n} = (5; 2; - 1)$

B. $\vec{n} = (5; 2; 1)$

C. $\vec{n} = (- 5; 2; - 1)$

D. $\vec{n} = (- 5; 2; - 1)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình trụ có chiều cao bằng $5 \sqrt{3} .$ Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

A. $5 \sqrt{39} π$

B. $10 \sqrt{3} π$

C. $10 \sqrt{39} π$

D. $20 \sqrt{3} π$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{16} (a b) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b^{3}$

B. $a^{4} = b$

C. $a = b^{4}$

D. $a^{3} = b$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (3 x - 1) = 3$ là:

A. $x = \frac{7}{3}$

B. x = 2

C. x = 3

D. $x = \frac{10}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tích phân ∫02xf'xdx bằng:

Cho các số thực dương a, b khác 1 thỏa mãn log2a=logb16 và ab = 64. Giá trị của biểu thức log2ab2 bằng:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) và đi qua điểm A(0; 4; -1) là:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tích là một số lẻ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;1, B2;1;0, C2;0;2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Cho hình trụ có chiều cao bằng 53.Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn log2a=log16ab. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nghiệm của phương trình log23x−1=3 là:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn f(0) = 3 và $f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in ℝ .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f' (x) d x$ bằng:

Cho các số thực dương a, b khác 1 thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{b} 16$ và ab = 64. Giá trị của biểu thức ${(\log_{2} \frac{a}{b})}^{2}$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 1; 1), B (2; 1; 0), C (2; 0; 2) .$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Cho hình trụ có chiều cao bằng $5 \sqrt{3} .$ Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{16} (a b) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (3 x - 1) = 3$ là: