Cho hàm số $y=\left|\frac{1}{4}{x}^4-x^3+x^2+m\right|$  . Tính tổng tất cả các số nguyên m để $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y\le 11$  .

Đáp án B

TXĐ:$D=ℝ\backslash \left\{0;2\right\}$ .

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{2}{x}}=0$ ;

•$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{2}{x}}=0$ .

Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=0.

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{x^2}=\frac{1}{4}$•

Nên x=2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x-2\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-1}{x^2}=-\infty$•

Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x=0.

Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 tiệm cận.

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử phương trình của parabol là (P): $y=a{x}^2+bx+c$ .

Ta có parabol có đỉnh là (0;3)   và đi qua điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$  nên có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ c=3\\ \frac{9}{4}a+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{-4}{3}\\ b=0\\ c=3\end{array}\right.\Rightarrow \left(P\right):y=-\frac{4}{3}{x}^2+3$

Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(-\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}\right)$ , ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng $-\frac{4}{3}{x}^2+3$ bằng  mét và chiều dài bằng 6 mét.

Diện tích thiết diện thu được là $6\left(-\frac{4}{3}{x}^2+3\right)=-8x^2+18$ .

Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là $\underset{-\frac{3}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}\left(-8x^2+18\right)dx=36\left(m^3\right)$ .