Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\left(C\right):y=\frac{-3x-1}{x-1}$ và hai trục tọa độ là $S = 4\ln \frac{a}{b} - 1$ ($a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b$ là hai số nguyên tố cùng nhau). Tính $a - 2b$.

Đáp án: $- 2$

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b$ là $S = \int\limits_{}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{-3x-1}{x-1}=0\iff x=\mathrm{ }-\frac{1}{3}$.

Diện tích S cần tìm là: $S = \left| {\int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^0 {\frac{{ - 3x - 1}}{{x - 1}}dx} } \right| = \int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^0 {\left( {3 + \frac{4}{{x - 1}}} \right)dx}$

$= \left| {\left( {3x + 4\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{\frac{{ - 1}}{3}}^0 = 4\ln \frac{4}{3} - 1$

$\Rightarrow a = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = 3$.

Vậy $a-2b=4-2.3=\mathrm{ }-2$.