Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có thể tích 216$c{m}^3$  và diện tích của tam giác ABC' bằng $24\sqrt{3}c{m}^2$ . Tính sin góc giữa AB và mặt phẳng (A'BC).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$ và hai điểm $M\left(4;-4;2\right),N\left(6;0;6\right)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu(S)  sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là

Cho đồ thị $\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x=9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0). Gọi $V_1$  là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, $V_2$  là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng $V_1=2V_2$ . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM.

Biết số phức z thỏa mãn $\left|z-1\right|\le 1$  và $z-\overline{z}$  có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\frac{4{\text{x}}^2+3}{\sqrt{2y+1}}=\frac{y+2}{x}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  là

Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với $AB=4a,AD=2a$ . Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho$DN=CP=a$ . Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng:

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng$\frac{37}{189}$  thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là