Cho phương trình $2^{{\left(x-1\right)}^2}.{\log }_2\left(x^2-2x+3\right)=4^{\left|x-m\right|}.{\log }_2\left(2\left|x-m\right|+2\right)$  với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Đáp án A.

Phương trình tương đương với 

$2^{x^2-2x+3}.{\log }_2\left(x^2-2x+3\right)=2^{2\left|x-m\right|+2}.{\log }_2\left(2\left|x-m\right|+2\right)$(*)

Xét hàm $f\left(t\right)=2^t.{\log }_{2}t$  trên $\left[2;+\infty \right).$

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=2^t.\ln 2.{\log }_{2}t+\frac{2^t}{t.\ln 2}>\mathrm{0,}\forall t>2.$

Suy ra hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên $\left[2;+\infty \right).$

Nhận thấy (*) có dạng $f\left(x^2-2x+3\right)=f\left(2\left|x-m\right|+2\right)\iff x^2-2x+3=2\left|x-m\right|+2$

$\iff {\left(x-1\right)}^2=2\left|x-m\right|\iff \left[\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2=2\left(x-m\right)\\ {\left(x-1\right)}^2=-2\left(x-m\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-4x+2m+1=0\text{ (1)}\\ x^2=2m-1\text{ (2)}\end{array}\right..$Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

TH1. Phương trình (1) và (2) đều có nghiệm kép và hai nghiệm này khác nhau

$\iff \left\{\begin{array}{l}{{\Delta }^{\text{'}}}_{\left(1\right)}=0\\ x^2=2m-1=0\end{array}\right.\Rightarrow m\in \varnothing .$

TH2. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm

$\iff \left\{\begin{array}{l}{{\Delta }^{\text{'}}}_{\left(1\right)}>0\\ x^2=2m-1<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4-\left(2m+1\right)>0\\ 2m-1<0\end{array}\right.\iff m<\frac{1}{2}.$

TH3. Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}{{\Delta }^{\text{'}}}_{\left(1\right)}<0\\ x^2=2m-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4-\left(2m+1\right)<0\\ 2m-1>0\end{array}\right.\iff m>\frac{3}{2}.$

TH4. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biết, phương trình (2) cũng có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm của (1) giống hai nghiệm của (2) hay nói cách khác hai phương trình tương đương

Vậy $m\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$  là giá trị cần tìm.