Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng $\left(-10;10\right)$  để hàm số $y=\left|2x^2-2mx+3\right|$  đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$ ?

Đáp án A

Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^3-2mx+3$  trên $\left(1;+\infty \right)$ .

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2-2m=0$ . Khi đó ${\Delta }^{\text{'}}=12m$ .

TH1: Hàm số $f\left(x\right)=2x^3-2mx+3$  luôn đồng biến và không âm trên $\left(1;+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)\\ f\left(1\right)\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6x^2-2m\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)\\ {2.1}^3-2m.1+3\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le \underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }3x^2\\ m\le \frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m\le \frac{5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow m\le \frac{5}{2}$

Vì $\left\{\begin{array}{l}m\in \mathbb{Z}\\ m\in \left(-10;10\right)\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2\right\}$ .

TH2: Hàm số $f\left(x\right)=2x^3-2mx+3$  luôn nghịch biến và không dương trên $\left(1;+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)\\ f\left(1\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6x^2-2m\le \mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)\\ {2.1}^3+2m.1+3\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge \underset{\left(1;+\infty \right)}{\max }3x^2\\ m\ge \frac{5}{2}\end{array}\right.$

 (không tồn tại m).

Vậy có tất cả 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.