Đề số 10

Đáp án B

Gọi h là chiều cao khối nón ta có: $h=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$ .

Đáp án C

Ta có f'(x) chỉ đổi dấu khi qua $x=-1;x=3$  do đó hàm số f(x) chỉ có hai điểm cực trị $x=-1;x=3$ .

Đáp án A

Gọi tọa độ điểm $D\left(x;y;z\right)$ .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(-2;2;-2\right)\\ \overrightarrow{DC}=\left(-1-x;3-y;2-z\right)\end{array}\right.$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Do đó, ta có hệ sau: $\left\{\begin{array}{l}-1-x=-2\\ 3-y=2\\ 2-z=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=4\end{array}\right.$ .

Vậy tọa độ điểm $D\left(1;1;4\right)$ .

Đáp án D

Ta thấy trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$  thì $y^{\text{'}}>0$ , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ .

Đáp án C

Hàm số  $y={\left(x^2+x-6\right)}^{-\frac{1}{3}}$xác định khi và chỉ khi $x^2+x-6>0$ .

$\iff \left(x-2\right)\left(x+3\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}x<-3\\ x>2\end{array}\right.$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ .

Đáp án A

Ta có $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$

Trong đó $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\frac{\left(1+3\right).2}{2}=4$

Và $\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=-\frac{\left(1+2\right).1}{2}=\frac{3}{2}$ .

Vậy $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$ .

Đáp án A

Thể tích khối cầu bán kính a là $V=\frac{4}{3}\pi a^3$ .

Đáp án C

Ta có: $3^{x-1}=9\iff 3^{x-1}=3^2\iff x=3$ .

Đáp án B

Vì $\left(\alpha \right)$  song song với $\left(Q\right):2x-y+3x+2=0$  nên mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$có phương trình dạng .

Vì $\left(\alpha \right)$  đi quả điểm $A\left(2;-1;1\right)$  nên $2.2-\left(-1\right)+3.1+d=0\iff d=-8$  (thỏa mãn $d\ne 2$ ).

Vậy  có phương trình là $2x-y+3z-8=0$  .

Đáp án C

Ta có: $\int x{e}^{x}dx=\int xd\left(e^x\right)=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$ .

Đáp án B

Giáo viên có 2 phương án lựa chọn:

+ Phương án 1: Chọn 1 học sinh nam: có 9 cách chọn.

+ Phương án 2: Chọn 1 học sinh nữ: có 6 cách chọn.

Vậy có 9 + 6 = 15 cách chọn 1 học sinh làm trực nhật.

Đáp án C                                                    

Đáp án A

Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$ .

Khi đó $M\left(x;y\right)$  và $M^{\text{'}}\left(x;-y\right)$  đối xứng nhau qua trục hoành.

Đáp án B

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0) nên chọn B, C.

Ta thấy nếu tịnh tiến đồ thị (C) sang bên trái 1 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số $y=x^3$  .

Do đó đồ thị (C) có dạng là: $y={\left(x-1\right)}^3$  .

Đáp án A

A. Đúng. Vì $\underset{x\to 5}{\lim }y=+\infty$  nên hàm số không có GTLN trên .

B. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x=2 trên $\left[-1;5\right]$ .

C. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x=2 trên $\left[-1;5\right]$ và $\underset{x\to 5}{\lim }y=+\infty$.

D. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x=2 trên $\left[-1;5\right]$ .

Đáp án D

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\\ x=\pm 1\end{array}\right.$ , trong đó  là nghiệm bội chẵn.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu là: x=-1 và x=3.

Đáp án B

Ta có $z^2={\left(a+bi\right)}^2=a^2+2abi+{\left(bi\right)}^2=a^2+2abi-b^2=\left(a^2-b^2\right)+2abi$ .

Đáp án D

Gọi  là bán kính mặt cầu, suy ra diện tích mặt cầu là: $4\pi R^2$ .

Theo đề bài mặt cầu có diện tích là $4\pi$  nên ta có $4\pi R^2=4\pi \iff R=1$ .

Mặt cầu có tâm $I\left(1;1;1\right)$  và bán kính $R=1$   nên có phương trình:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$.

Đáp án C

Ta có $P={\log }_{7^{\frac{1}{3}}}\left(\frac{{11}^2}{2^3}\right)=3\left({\log }_7{11}^2-{\log }_7{2}^3\right)$

$=3\left(2{\log }_{7}11-3{\log }_{7}2\right)=3\left(2{\log }_{7}11-\frac{3}{{\log }_{2}7}\right)$.

Mà $b={\log }_{2}7$  và $a={\log }_{49}11={\log }_{7^2}11=\frac{1}{2}{\log }_{7}11\Rightarrow {\log }_{7}11=2a$

Vậy $P=3\left(2.2a-\frac{3}{b}\right)=12a-\frac{9}{b}$ .

Đáp án D

Ta có $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\iff \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{-m}{-1}\ne \frac{-2}{-1}$  (vô lý vì $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{-2}{-1}$ ).

Vậy không tồn tại m để hai mặt phẳng $\left(\alpha \right),\left(\beta \right)$   song song với nhau.

Chú ý: Cho $\left(\alpha \right):A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$  và $\left(\beta \right):A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$  .

Để $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$  thì $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$ .

Đáp án D

Ta có $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\iff \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{-m}{-1}\ne \frac{-2}{-1}$  (vô lý vì $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{-2}{-1}$ ).

Vậy không tồn tại m để hai mặt phẳng $\left(\alpha \right),\left(\beta \right)$   song song với nhau.

Chú ý: Cho $\left(\alpha \right):A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$  và $\left(\beta \right):A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$  .

Để $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)$  thì $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$ .

Đáp án B

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:

$R=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A^{\text{'}}}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Đáp án B

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là: x=-1  .

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là: y=2.

Giao điểm hai tiệm cận I(-1;2).

Thay tọa độ điểm I vào các đáp án, ta thấy đáp án B thỏa mãn.

Đáp án D

Trong tam giác vuông SAB, ta có

$S{A}^2=AH.AB=\frac{2}{3}AB.AB=\frac{2}{3}{a}^2$

$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Diện tích hình vuông ABCD là: $S_{ABCD}=a^2\left(\text{đvdt}\right)$  

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SH=\frac{a^3\sqrt{2}}{9}\left(\text{đvtt}\right)$.

Đáp án A

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(3^{x^2-3x+1}\right)}^{\text{'}}={\left(x^2-3x+1\right)}^{\text{'}}{.3}^{x^2-3x+1}.\ln 3=\left(2x-3\right){.3}^{x^2-3x+1}.\ln 3$ .

Đáp án C

Ta có: $2f\left(x\right)-1=0\iff f\left(x\right)=\frac{1}{2}$ .

Số nghiệm phương trình $2f\left(x\right)-1=0$  thuộc khoảng $\left(-2;1\right)$  là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  và đường thẳng $y=\frac{1}{2}$  thuộc khoảng $\left(-2;1\right)$ .

Dựa vào đồ thị, suy ra đường thẳng $y=\frac{1}{2}$  cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại hai điểm phân biệt thuộc khoảng $\left(-2;1\right)$   hay phương trình $2f\left(x\right)-1=0$  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(-2;1\right)$  .

Đáp án D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Þ OJ là đường trung bình của $\Delta BCD$ .

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}OJ//CD\\ OJ=\frac{1}{2}CD\end{array}\right.$

Vì $CD//OJ\Rightarrow \left(IJ,CD\right)=\left(IJ,OJ\right)$ .

Xét tam giác IOJ, có $\left\{\begin{array}{l}IJ=\frac{1}{2}SB=\frac{a}{2}\\ OJ=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\\ IO=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}\end{array}\right.\Rightarrow \Delta IOJ$  đều.

Vậy $\left(IJ,CD\right)=\left(IJ,OJ\right)=\widehat{IJO}=60°$ .

Đáp án D

Phương trình tương đương với: ${\log }_5\left(2^x{.5}^{x^2-2x}\right)={\log }_{5}1\iff {\log }_5\left(2^x{.5}^{x^2-2x}\right)=0$

${\log }_5{2}^x+{\log }_5{5}^{x^2-2x}=0\iff x{\log }_{5}2+x^2-2x=0$

$\iff x\left({\log }_{5}2+x-2\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=2-{\log }_{5}2\end{array}\right.$.

Do đó $x_1+x_2=2-{\log }_{5}2$ .

Đáp án C

Bán kính đáy của khối trụ: $r=\frac{20}{2\pi }=\frac{10}{\pi }$

Đáp án B

Từ giả thiết, ta có $f\left(-x\right)={\left(x{e}^x\right)}^{\text{'}}=\left(x+1\right)e^x\Rightarrow f\left(x\right)=\left(1-x\right)e^x$

Suy ra $f^{\text{'}}\left(x\right)=\left(x-2\right)e^{-x}$ .

Khi đó $\int f^{\text{'}}\left(x\right)e^{x}dx=\int \left(x-2\right)dx=\frac{x^2}{2}-2x+C$ .

Theo đề bài ta có $F\left(0\right)=1\Rightarrow C=1$ .

Suy ra $F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-2x+1\Rightarrow F\left(-1\right)=\frac{7}{2}$ .

Đáp án A

Gọi $E=HK\cap AC$ .

Do $HK//BD$  nên $d\left(HK,SD\right)=d\left(HK,\left(SBD\right)\right)$

$=d\left(E,\left(SBD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SBD\right)\right)$.

Kẻ $AF\perp SO$ .

Khi đó $d\left(A,\left(SBD\right)\right)=AF=\frac{SA.AO}{\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}}=\frac{2a}{3}$ .

Vậy $d\left(HK,SD\right)=\frac{1}{2}AF=\frac{a}{3}$ .

Đáp án B

Đường thẳng $d_1$  đi qua điểm $M_1=\left(3;-1;-1\right)$  và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-2;1\right)$ .

Đường thẳng $d_2$  đi qua điểm $M_2=\left(0;0;1\right)$  và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(1;-2;1\right)$ .

Do $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{u_2}$  và $M_1\notin d_1$  nên hai đường thẳng $d_1$  và $d_2$  song song với nhau.

Ta có $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(-3;1;2\right),\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{M_1{M}_2}\right]=\left(-5;-5;-5\right)=5\left(1;1;1\right)$ .

Gọi $\left(\alpha \right)$  là mặt phẳng chứa $d_1$  và $d_2$  khi đó $\left(\alpha \right)$  có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ .

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  là $x+y+z-1=0$ .

Gọi $A=d_3\cap \left(\alpha \right)$  thì $A\left(1;-1;1\right)$ .

Gọi $B=d_4\cap \left(\alpha \right)$  thì $B\left(-1;2;0\right)$ .

Do $\overrightarrow{AB}=\left(-2;3;-1\right)$  không cùng phương với $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-2;1\right)$  nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng $d_1$  và $d_2$ .

Đáp án C

TXĐ: $D=ℝ$ .

$y^{\text{'}}=x^2-2\left(m+1\right)x+\left(m^2+2m\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=m\\ x=m+2\end{array}\right.$.

Bảng xét dấu

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$  thì $y^{\text{'}}\le \mathrm{0,}\forall x\in \left(-1;1\right)$

$\iff x^2-2\left(m+1\right)x+\left(m^2+2m\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in \left(-1;1\right)$.

Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) thì

$\left\{\begin{array}{l}m\le -1\\ m+2\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -1\\ m\ge -1\end{array}\right.\iff m=-1$.

Đáp án B

Phương trình đã cho trở thành: $a^2+b^2-12\sqrt{a^2+b^2}+2bi=13+10i$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-12\sqrt{a^2+b^2}=13\\ 2b=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{a^2+b^2}=13\\ b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=12\\ b=5\end{array}\right.\left(\text{do }a>0\right)$.

Vậy $S=a+b=17$ .

Đáp án C

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left[2f^{\text{'}}\left(x\right)-4\right].{\pi }^{2f\left(x\right)-4x}\ln \pi =0$

$\iff 2f^{\text{'}}\left(x\right)-4=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=2$.

Đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  nhận được từ việc tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x-1\right)$  sang trái 1 đơn vị nên $f^{\text{'}}\left(x\right)=2\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\\ x=1\end{array}\right.$ .

Do $x=-2$  và x=1 là nghiệm bội chẵn nên ta có

Bảng biến thiên hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Đáp án D

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=\left(x+1\right)e^{x}dx\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=f^{\text{'}}\left(x\right)\\ v=\int \left(x+1\right)e^{x}dx=x.e^x\end{array}\right.$ .

Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right)e^{x}f\left(x\right)dx={\left.x{e}^x.f\left(x\right)\right|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\frac{1-e^2}{4}$ .

Chọn k sao cho

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)+k.x{e}^x\right]}^{2}dx=0\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}dx+2k.\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx+k^2.\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{e}^{2x}dx=0$

$\iff \frac{e^2-1}{4}-2k.\frac{e^2-1}{4}+k^2.\frac{e^2-1}{4}=0\iff {\left(k-1\right)}^2=0\iff k=1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=-x{e}^x$.

Do đó $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=-\int x{e}^{x}dx=-\left(x-1\right)e^x+C$  mà $f\left(1\right)=0\Rightarrow C=0$ .