Câu hỏi:

11/06/2022 1,195

Cho hình chóp đều S.ABCD có $S A = a \sqrt{5}, A B = a$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP)?

\frac{\sqrt{2}}{2} .

B. $\frac{1}{2} .$

\frac{\sqrt{3}}{2} .

\frac{\sqrt{15}}{6} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Cho hình chóp đều S.ABCD có SA=a căn5, AB=a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP) ? (ảnh 1)

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và $(M N P Q) / / (A B C D)$ dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow \hat{(D N, (M Q P))} = \hat{(D N, (M N P))} = \hat{(D N, (A B C D))}$ .

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Gọi H là trung điểm của OB.

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình

$\Rightarrow N H / / S O \Rightarrow N H ⊥ (A B C D)$ .

DH là hình chiếu của DN trên .

$\Rightarrow \hat{(D N, (A B C D))} = \hat{(D N, D H)} = \hat{N D H}$ .

ABCD là hình vuông cạnh $a \Rightarrow B D = a \sqrt{2} \Rightarrow D H = \frac{3}{4} B D = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}, O B = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xét tam giác vuông SOB có $S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \frac{3 a}{\sqrt{2}} \Rightarrow N H = \frac{1}{2} S O = \frac{3 a}{2 \sqrt{2}} .$

Xét tam giác vuông NHD có: $N D = \sqrt{N H^{2} + H D^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{8} + \frac{9 a^{2}}{8}} = \frac{3 a}{2} .$

$\Rightarrow \cos \hat{N D H} = \frac{D H}{N D} = \frac{\frac{3 a \sqrt{2}}{4}}{\frac{3 a}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + y - z - 4 = 0$ và điểm $A (2; - 1; 3)$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua A và song song với (P), biết $Δ$ có một vectơ chỉ phương là đồng thời $Δ$ đồng phẳng và không song song với Oz. Tính $\frac{a}{c}$ .

- \frac{1}{2} .

\frac{1}{2} .

C. 2.

D. -2

Lời giải

Đáp án C

$Δ$ đồng phẳng và không song song với Oz, suy ra $Δ \cap O z$ .

Giả sử $Δ \cap O z = B (0; 0; b)$

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 1; b - 3)$ là 1 vectơ chỉ phương của .

$\vec{n_{P}} = (1; 1; - 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của .

Do $Δ / / (P) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 1 - b + 3 = 0 \Leftrightarrow b = 2$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 1; - 1) \Rightarrow {\begin{cases} a = - 2 \\ b = 1 \\ c = - 1 \end{cases} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{- 2}{- 1} = 2.$

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

\frac{a^{3}}{16} .

\frac{a^{3}}{4} .

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

D. $\frac{a^{3}}{8} .$

Lời giải

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC. (ảnh 1)

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$ .

Xét tam giác vuông SAB: $S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4} .$

Ta có: $\frac{V_{S M N C}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S M N C} = \frac{a^{3}}{16} .$

Câu 3

Cho hàm số $y = | x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m |$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y = 20$ là:

A. -10

B. -4

C. 20.

D. -21

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

a \sqrt{2} .

\frac{3 a \sqrt{2}}{2} .

\frac{3 a \sqrt{2}}{4} .

a \sqrt{6} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f(x)+m)=0 có 3 nghiệm phân biệt.

A. 4.

B. 1.

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua $D (0; 1; 2)$ và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ , trong đó $a, b, c \in ℝ \ {0; 1}$ . Tính bán kính của (S) ?

\frac{3 \sqrt{2}}{2} .

\sqrt{5} .

5 \sqrt{2} .

\frac{\sqrt{5}}{2} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .

y = \frac{2 x - 1}{x - 1} .

y = \frac{2 x - 1}{x + 1} .

y = \frac{2 x + 1}{x + 1} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý