Tìm các số thực A, B và C thoả mãn 1x3+1=Ax+1+Bx+Cx2−x+1.

1x3+1=Ax+1+Bx+Cx2−x+1⇔1x3+1=Ax2−x+1+Bx+Cx+1x+1x2−x+1 ⇔1x3+1=Ax2−Ax+A+Bx2+Bx+Cx+Cx3+1 ⇔1x3+1=A+Bx2+−A+B+Cx+A+Cx3+1 ⇔A+B=0−A+B+C=0A+C=1⇔A=13B=−13C=23. Vậy A=13, B=−13, C=23.

Câu hỏi:

11/07/2024 4,364

Tìm các số thực A, B và C thoả mãn $\frac{1}{x^{3} + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\frac{1}{x^{3} + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{x^{3} + 1} = \frac{A (x^{2} - x + 1) + (B x + C) (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{3} + 1} = \frac{(A x^{2} - A x + A) + (B x^{2} + B x + C x + C)}{x^{3} + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{3} + 1} = \frac{(A + B) x^{2} + (- A + B + C) x + (A + C)}{x^{3} + 1}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} A + B = 0 \\ - A + B + C = 0 \\ A + C = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = \frac{1}{3} \\ B = - \frac{1}{3} \\ C = \frac{2}{3} \end{cases} .$

Vậy $A = \frac{1}{3}, B = - \frac{1}{3}, C = \frac{2}{3} .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2 y + 3 z = 14 \\ 3 x - 2 y - z = - 4 \end{cases}$ ;

b) $\{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 6 \\ 3 x + 2 y + 5 z = 7 \\ 7 x + 3 y - 6 z = 1 \end{cases}$ ;

c) $\{\begin{cases} 2 x + y - 6 z = 1 \\ 3 x + 2 y - 5 z = 5 \\ 7 x + 4 y - 17 z = 7 \end{cases}$ ;

d) $\{\begin{cases} 5 x + 2 y - 7 z = 6 \\ 2 x + 3 y + 2 z = 7 \\ 9 x + 8 y - 3 z = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) $\{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2 y + 3 z = 14 \\ 3 x - 2 y - z = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ - y - 2 z = - 8 \\ 5 y + 4 z = 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ - y - 2 z = - 8 \\ - 6 z = - 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ - y - 2.3 = - 8 \\ z = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 + 3 = 6 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} .$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).

b) $\{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 6 \\ 3 x + 2 y + 5 z = 7 \\ 7 x + 3 y - 6 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 6 \\ - 10 y - 7 z = 4 \\ 7 x + 3 y - 6 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 6 \\ - 10 y - 7 z = 4 \\ - 20 y + 19 z = 40 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 6 \\ - 8 y - 7 z = 4 \\ - 33 z = - 32 \end{cases}$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 y + z = 6 \\ - 8 y - 7. \frac{32}{33} = 4 \\ z = \frac{32}{33} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 2 (- \frac{178}{165}) + \frac{32}{33} = 6 \\ y = - \frac{178}{165} \\ z = \frac{32}{33} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{79}{55} \\ y = - \frac{178}{165} \\ z = \frac{32}{33} \end{cases} .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $(\frac{79}{55}; - \frac{178}{165}; \frac{32}{33}) .$

c) $\{\begin{cases} 2 x + y - 6 z = 1 \\ 3 x + 2 y - 5 z = 5 \\ 7 x + 4 y - 17 z = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y - 6 z = 1 \\ - y - 8 z = - 7 \\ 7 x + 4 y - 17 z = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y - 6 z = 1 \\ - y - 8 z = - 7 \\ - y - 8 z = - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y - 6 z = 1 \\ - y - 8 z = - 7 \end{cases} .$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1 - y + 6 z}{2} = \frac{1 - (7 - 8 z) + 6 z}{2} = 7 z - 3.$ Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ} .$

d) $\{\begin{cases} 5 x + 2 y - 7 z = 6 \\ 2 x + 3 y + 2 z = 7 \\ 9 x + 8 y - 3 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x + 2 y - 7 z = 6 \\ - 11 y - 24 z = - 23 \\ - 22 y - 48 z = 49 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x + 2 y - 7 z = 6 \\ - 22 y - 48 z = - 46 \\ - 22 y - 48 z = 49 \end{cases} .$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.

Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

Câu 2

Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài, ta có:

– Có tổng cộng 255 tấn gạo, suy ra 5x + 7y + 10z = 255 (1).

– Đoàn xe có 36 chiếc, suy ra x + y + z = 36 (2).

– Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn, suy ra (x + y) = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} 5 x + 7 y + 10 z = 255 \\ x + y + z = 36 \\ x + y - 3 z = 0 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 12, y = 15, z = 9.

Vậy số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là 12 xe, 15 xe và 9 xe.

Câu 3