Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là F−b2a;1−Δ4a và đường chuẩn là Δ:y=−1+Δ4a, trong đó Δ = b2 – 4ac.

Câu hỏi:

11/06/2022 528

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F (- \frac{b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $Δ : y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ , trong đó Δ = b2 – 4ac.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{M F}{d (M, Δ)} = 1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\Leftrightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2}} = |a x^{2} + b x + c + \frac{1 + Δ}{4 a}|$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2} = {(a x^{2} + b x + c + \frac{1 + Δ}{4 a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - (1 - Δ)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c + (1 + Δ)}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - (1 - b^{2} + 4 a c)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c + (1 + b^{2} - 4 a c)}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} - 1}{4 a})}^{2} = {(\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} + 1}{4 a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{{(2 a x + b)}^{2} - 1}{4 a}]}^{2} = {[\frac{{(2 a x + b)}^{2} + 1}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + {[{(2 a x + b)}^{2} - 1]}^{2} = {[{(2 a x + b)}^{2} + 1]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + [{(2 a x + b)}^{4} - 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1] = {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1$

$\Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1 = {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{M F}{d (M, Δ)} = 1$ hay MF = d(M, Δ)

$\Rightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(y - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2}} = |y + \frac{1 + Δ}{4 a}|$

$\Rightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(y - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2} = {(y + \frac{1 + Δ}{4 a})}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a y - (1 - Δ)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a y + (1 + Δ)}{4 a}]}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a y - (1 - b^{2} + 4 a c)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a y + (1 + b^{2} - 4 a c)}{4 a}]}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{(4 a y - 4 a c + b^{2}) - 1}{4 a}]}^{2} = {[\frac{(4 a y - 4 a c + b^{2}) + 1}{4 a}]}^{2}$

$\Rightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) - 1]}^{2} = {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) + 1]}^{2}$

$\Rightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} = {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) + 1]}^{2} - {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) - 1]}^{2}$

$\Rightarrow 4 (4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2}) = 4 (4 a y - 4 a c + b^{2})$

$\Rightarrow 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = 4 a y - 4 a c$

$\Rightarrow 4 a y = 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c$

$\Rightarrow y = a x^{2} + b x + c .$

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

NHÀ SÁCH VIETJACK

Xem Thêm Kho Sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

Đã bán 152

₫40.000 - ₫130.000 ₫40.000 - ₫60.000

Hà Nội

Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Đã bán 114

₫300.000 - ₫600.000 ₫150.000- ₫195.000

Hà Nội

(Chương trình mới) - Sách lớp 10, 11 Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa 3 bộ sách KNTT, CTST, CD

Đã bán 132

₫85.000-₫114.000

Hà Nội

Sách - Trọng tâm kiến thức lớp 6,7,8 dùng cho 3 sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack

Đã bán 47

₫170.000 - ₫360.000 ₫80.000 - ₫136.000

Hà Nội

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,927

Câu 2:

Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,195

Câu 3:

Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} - 2 p) x - \frac{1}{a} y + \frac{c}{a} = 0$ .

Xem đáp án » 11/07/2024 988

Câu 4:

Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0. Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi x2 + y2 + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0 (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Xem đáp án » 11/06/2022 318

Câu 5:

Viết phương trình đường conic có tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?

Xem đáp án » 11/06/2022 288

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký thi VIP

vip1 ( 250,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện 1 môn của 1 lớp

Được thi tất cả đề của môn bạn đăng ký có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi đáp với đội ngũ chuyên môn với những vấn đề chưa nắm rõ của môn bạn đang quan tâm.

Lớp đăng ký:

Môn đăng ký:

Đặt mua

vip2 ( 500,000 VNĐ )

VIP 2 - Combo tất cả các môn của 1 lớp

Được thi tất cả đề của tất cả các môn (Toán, Lí, Hóa, Anh, Văn,...) trong lớp bạn đăng ký có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi đáp với đội ngũ chuyên môn với tất cả những vấn đề chưa nắm rõ.
Ẩn tất cả các quảng cáo trên Website

Lớp đăng ký:

Đặt mua

vip3 ( 750,000 VNĐ )

VIP 3 - Combo tất cả các môn tất cả các lớp

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi đáp với đội ngũ chuyên môn với tất cả những vấn đề chưa nắm rõ.
Ẩn tất cả các quảng cáo trên Website

Bạn sẽ được luyện tất cả các môn của tất cả các lớp.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp

7 đề 12,592 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 1: Vectơ

6 đề 10,840 lượt thi Thi thử
Bài tập Ba đường conic có đáp án

2 đề 10,063 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 6: Cung và góc lượng giác - Công thức lượng giác

6 đề 9,641 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình

7 đề 9,575 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai

5 đề 8,452 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

6 đề 7,744 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

5 đề 7,176 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình

5 đề 5,553 lượt thi Thi thử
Bài tập Hypebol có đáp án

2 đề 5,165 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là F−b2a;1−Δ4a và đường chuẩn là Δ:y=−1+Δ4a, trong đó Δ = b2 – 4ac.

NHÀ SÁCH VIETJACK

Cho elip có phương trình x225+y216=1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C):x2+y2+ba−2px−1ay+ca=0.

Viết phương trình đường conic có tâm sai e=12, một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F (- \frac{b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $Δ : y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ , trong đó Δ = b2 – 4ac.

Cho elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Viết phương trình đường conic có tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?