Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là F−b2a;1−Δ4a và đường chuẩn là Δ:y=−1+Δ4a, trong đó Δ = b2 – 4ac.

Câu hỏi:

11/06/2022 1,659

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F (- \frac{b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $Δ : y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ , trong đó Δ = b2 – 4ac.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{M F}{d (M, Δ)} = 1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\Leftrightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2}} = |a x^{2} + b x + c + \frac{1 + Δ}{4 a}|$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2} = {(a x^{2} + b x + c + \frac{1 + Δ}{4 a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - (1 - Δ)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c + (1 + Δ)}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - (1 - b^{2} + 4 a c)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c + (1 + b^{2} - 4 a c)}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} - 1}{4 a})}^{2} = {(\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} + 1}{4 a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{{(2 a x + b)}^{2} - 1}{4 a}]}^{2} = {[\frac{{(2 a x + b)}^{2} + 1}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + {[{(2 a x + b)}^{2} - 1]}^{2} = {[{(2 a x + b)}^{2} + 1]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + [{(2 a x + b)}^{4} - 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1] = {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1$

$\Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1 = {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{M F}{d (M, Δ)} = 1$ hay MF = d(M, Δ)

$\Rightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(y - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2}} = |y + \frac{1 + Δ}{4 a}|$

$\Rightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(y - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2} = {(y + \frac{1 + Δ}{4 a})}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a y - (1 - Δ)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a y + (1 + Δ)}{4 a}]}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{4 a y - (1 - b^{2} + 4 a c)}{4 a}]}^{2} = {[\frac{4 a y + (1 + b^{2} - 4 a c)}{4 a}]}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{(4 a y - 4 a c + b^{2}) - 1}{4 a}]}^{2} = {[\frac{(4 a y - 4 a c + b^{2}) + 1}{4 a}]}^{2}$

$\Rightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) - 1]}^{2} = {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) + 1]}^{2}$

$\Rightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} = {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) + 1]}^{2} - {[(4 a y - 4 a c + b^{2}) - 1]}^{2}$

$\Rightarrow 4 (4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2}) = 4 (4 a y - 4 a c + b^{2})$

$\Rightarrow 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = 4 a y - 4 a c$

$\Rightarrow 4 a y = 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c$

$\Rightarrow y = a x^{2} + b x + c .$

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow x_{1} + x_{2} = 2 x_{M} = 2.2 = 4, y_{1} + y_{2} = 2 y_{M} = 2.1 = 2.$

Vì A, B thuộc elip nên $\frac{x_{1}^{2}}{25} + \frac{y_{1}^{2}}{16} = 1$ và $\frac{x_{2}^{2}}{25} + \frac{y_{2}^{2}}{16} = 1.$

$\Rightarrow (\frac{x_{1}^{2}}{25} + \frac{y_{1}^{2}}{16}) - (\frac{x_{2}^{2}}{25} + \frac{y_{2}^{2}}{16}) = 1 - 1 = 0$

$\Rightarrow \frac{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{25} + \frac{y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}{16} = 0 \Rightarrow \frac{(x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2})}{25} + \frac{(y_{1} + y_{2}) (y_{1} - y_{2})}{16} = 0$

$\Rightarrow \frac{4 (x_{1} - x_{2})}{25} + \frac{2 (y_{1} - y_{2})}{16} = 0$ $\Rightarrow \frac{x_{1} - x_{2}}{25} + \frac{y_{1} - y_{2}}{32} = 0 \Rightarrow \frac{x_{1} - x_{2}}{25} = \frac{y_{1} - y_{2}}{- 32} .$

Mà $\vec{B A}$ có toạ độ là (x1 – x2; y1 – y2) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

$\Rightarrow$ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.

Câu 2

Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là y2 = 2px (p > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy: OF = 148 + 6371 = 6519 (km)

$\Rightarrow \frac{p}{2} = 6519 \Rightarrow p = 13038$

$\Rightarrow$ phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là y2 = 26076x.

b) Giả sử tàu vụ trụ có toạ độ M(x; y).

Khi đó, theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF = x + $\frac{p}{2} .$

Đây cũng là khoảng cách từ tàu vũ trụ đến tâm Trái Đất.

Kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, hoành độ x của tàu vũ trụ sẽ ngày càng tăng, do đó tàu ngày càng xa Trái Đất hơn.

Câu 3

Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} - 2 p) x - \frac{1}{a} y + \frac{c}{a} = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Viết phương trình đường conic có tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0. Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi x2 + y2 + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0 (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F (- \frac{b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $Δ : y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ , trong đó Δ = b2 – 4ac.

Cho elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Viết phương trình đường conic có tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?