Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F\left(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta }{4a}\right)$ và đường chuẩn là $\Delta :y=-\frac{1+\Delta }{4a}$, trong đó Δ = b2 – 4ac.

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\iff \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}=\left|a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2={\left(a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+\Delta \right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2-1}{4a}\right)}^2={\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2+1}{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2-1}{4a}\right]}^2={\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2+1}{4a}\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[{\left(2ax+b\right)}^2-1\right]}^2={\left[{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+\left[{\left(2ax+b\right)}^4-2{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1$

$\iff {\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ)

$\Rightarrow \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}=\left|y+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$\Rightarrow {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2={\left(y+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4ay-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4ay+\left(1+\Delta \right)}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4ay-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4ay+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{\left(4ay-4ac+b^2\right)-1}{4a}\right]}^2={\left[\frac{\left(4ay-4ac+b^2\right)+1}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)-1\right]}^2={\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)+1\right]}^2$

$\Rightarrow 4{\left(2ax+b\right)}^2={\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)+1\right]}^2-{\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)-1\right]}^2$

$\Rightarrow 4\left(4a^2{x}^2+4abx+b^2\right)=4\left(4ay-4ac+b^2\right)$

$\Rightarrow 4a^2{x}^2+4abx=4ay-4ac$

$\Rightarrow 4ay=4a^2{x}^2+4abx+4ac$

$\Rightarrow y=a{x}^2+bx+c.$

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.