Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow x_1+x_2=2x_M=2.2=\mathrm{4,}{y}_1+y_2=2y_M=2.1=2.$

Vì A, B thuộc elip nên $\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}=1$ và $\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}=1.$

$\Rightarrow \left(\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}\right)-\left(\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}\right)=1-1=0$

$\Rightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{25}+\frac{y_1^2-y_2^2}{16}=0\Rightarrow \frac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}{25}+\frac{\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)}{16}=0$

$\Rightarrow \frac{4\left(x_1-x_2\right)}{25}+\frac{2\left(y_1-y_2\right)}{16}=0$$\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{25}+\frac{y_1-y_2}{32}=0\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{25}=\frac{y_1-y_2}{-32}.$

Mà $\overrightarrow{BA}$ có toạ độ là (x1 – x2; y1 – y2) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

$\Rightarrow$ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

$\Rightarrow$Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

Xét phương trình đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

có ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}-p\right)}^2+{\left(\frac{1}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

$=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}-\frac{c}{a}=\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}$

Vì b < 0 và $b^2-4ac>0$ (chứng minh trên) nên $-\frac{b}{a}.p$> 0 và $\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0$

Do đó ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}>0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c $\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

$\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}=0$

$\Rightarrow$$\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}\right)+\left(y^2-2px\right)=0$

$\Rightarrow$$x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}x-2px\right)-\frac{y}{a}+\frac{c}{a}=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).