Câu hỏi:
11/06/2022 795Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn .
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
+) Xét trường hợp a > 0.
Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).
Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt
Xét phương trình đường tròn
có
Vì b < 0 và (chứng minh trên) nên > 0 và
Do đó
Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.
+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.
+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:
Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:
y2 = 2px và y = ax2 + bx + c y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0
y2 – 2px = 0 và
Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho elip có phương trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.
Câu 2:
Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).
b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.
Câu 3:
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là và đường chuẩn là , trong đó Δ = b2 – 4ac.
Câu 4:
Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0. Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi x2 + y2 + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0 (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?
Câu 5:
Viết phương trình đường conic có tâm sai , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?
về câu hỏi!