Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1+2+3+...+n=nn+12.

Câu hỏi:

12/06/2022 388

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1 = 12.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k (k + 1)}{2} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2} .

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)

= \frac{k (k + 1)}{2} + \frac{2 (k + 1)}{2} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1]}{2} .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 11,398

Câu 2:

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,831

Câu 3:

Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} .$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,239

Câu 4:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + abⁿ^–2 + bⁿ^{– 1}).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,236

Câu 5:

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,224

Câu 6:

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,705

Câu 7:

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,072

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có 1+2+3+...+n=nn+12.

Bình luận

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1); b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = nn+12n+16.

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Cho tổng Sn = 11.2+12.3+...+1nn+1. a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tồng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức: an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1).

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là nn−32.

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ. a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n; b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41. a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố. b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} .$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)(aⁿ^{– 1} + aⁿ^{– 2}b + ... + abⁿ^–2 + bⁿ^{– 1}).

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.