Câu hỏi:

Tính chất của các số $C_n^k$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b $=C_1^{0}a+C_1^{0}b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² $=C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ $=C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, $C_5^2$ và $C_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

(a + b)¹

(a + b)²

(a + b)³

(a + b)⁴

(a + b)⁵

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_1^0+C_1^1$ và $C_2^1,$ $C_2^0+C_2^1$ và $C_3^1\mathrm{,...}$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$