Tính chất của các số Cnk a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu: (a + b)1 = a + b =C10a+C10b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 =C20a2+C21ab+C20b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =C30...

a) (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C40a4 + C41a3b + C42a2b2 + C43ab3 + C44b4. (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = C50a5 + C51a4b + C52a3b2 + C53a2b3 + C54ab4 + C55b5. Ta thấy C41 = C43, C52 = C53,... Dự đoán: Cnk = Cnn−k. b) Ta thấy C10+C11 = C21, C20+C21 = C31,... Dự đoán: Cn−1k−1+Cn−1k = Cnk.

Câu hỏi:

12/07/2024 508

Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b $= C_{1}^{0} a + C_{1}^{0} b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² $= C_{2}^{0} a^{2} + C_{2}^{1} a b + C_{2}^{0} b^{2}$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ $= C_{3}^{0} a^{3} + C_{3}^{1} a^{2} b + C_{3}^{2} a b^{2} + C_{3}^{0} b^{3}$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ , $C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ . Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n}^{k}$ và $C_{n}^{n - k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

(a + b)¹

(a + b)²

(a + b)³

(a + b)⁴

(a + b)⁵

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_{1}^{0} + C_{1}^{1}$ và $C_{2}^{1},$ $C_{2}^{0} + C_{2}^{1}$ và $C_{3}^{1},...$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ và $C_{n}^{k} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Nhị thức newton có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = $C_{4}^{0}$ a⁴ + $C_{4}^{1}$ a³b + $C_{4}^{2}$ a²b² + $C_{4}^{3}$ ab³ + $C_{4}^{4}$ b⁴.

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

= $C_{5}^{0}$ a⁵ + $C_{5}^{1}$ a⁴b + $C_{5}^{2}$ a³b² + $C_{5}^{3}$ a²b³ + $C_{5}^{4}$ ab⁴ + $C_{5}^{5}$ b⁵.

Ta thấy $C_{4}^{1}$ = $C_{4}^{3}$ , $C_{5}^{2}$ = $C_{5}^{3}$ ,...

Dự đoán: $C_{n}^{k}$ = $C_{n}^{n - k}$ .

b) Ta thấy $C_{1}^{0} + C_{1}^{1}$ = $C_{2}^{1},$ $C_{2}^{0} + C_{2}^{1}$ = $C_{3}^{1},...$

Dự đoán: $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ = $C_{n}^{k} .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = 2^{2021} .$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{4} + \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} = 0$

\Rightarrow C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} = 2^{2 n}$

$\Rightarrow C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n}$

$= \frac{C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}}{2}$

= \frac{2^{2 n}}{2} = 2^{2 n - 1} \Rightarrow 2 n - 1 = 2021 \Rightarrow n = 1011.

Câu 2

Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰.

Xem đáp án

Lời giải

Số hạng chứa x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ hay (–3x + 2)¹⁰ là

$C_{10}^{10 - 7} {(- 3 x)}^{7} 2^{10 - 7} = C_{10}^{3} {(- 3)}^{7} 2^{3} x^{7} = - 2099520 x^{7} .$

Vậy hệ số của x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ là –2099520.

Câu 3