Biết rằng (2 + x)100 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?

+) Ta có: Số hạng chứa xk trong khai triển của (2 + x)100 hay (x +2)100 là C100100−kxk2100−k=C100k2100−kxk=2100C100k2kxk. Vậy hệ số của xk trong khai triển của (x + 2)100 là 2100C100k2k⇒ak=2100C100k2k. +) Giải bất phương trình: ak ≤ ak + 1 (1). 1⇔2100C100k2k≤2100C100k+12k+1⇔C100k2k≤C100k+12k+1⇔C100kC100k+1≤2k2k+1 ⇔100!k!100−k!100!k+1!100−k−1!≤12⇔k+1!100−k−1!k!100−k!≤12⇔k+1100−k≤12 ⇔2k+1≤100−k⇔3k≤98⇔k≤32 (vì k là số tự nhiên). +) Vì ak ≤ ak + 1⇔k≤32 nên ak ≥ ak + 1 ⇔k≥32. Do đó a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100. Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k. Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak.

Câu hỏi:

12/07/2024 4,744

Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Nhị thức newton có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Ta có:

Số hạng chứa xk trong khai triển của (2 + x)100 hay (x +2)100 là

$C_{100}^{100 - k} x^{k} 2^{100 - k} = C_{100}^{k} 2^{100 - k} x^{k} = 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} x^{k} .$

Vậy hệ số của xk trong khai triển của (x + 2)100 là $2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \Rightarrow a_{k} = 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} .$

+) Giải bất phương trình: ak ≤ ak + 1 (1).

$(1) \Leftrightarrow 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \leq 2^{100} \frac{C_{100}^{k + 1}}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \leq \frac{C_{100}^{k + 1}}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{C_{100}^{k}}{C_{100}^{k + 1}} \leq \frac{2^{k}}{2^{k + 1}}$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{100!}{k! (100 - k)!}}{\frac{100!}{(k + 1)! (100 - k - 1)!}} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{(k + 1)! (100 - k - 1)!}{k! (100 - k)!} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{k + 1}{100 - k} \leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (k + 1) \leq 100 - k \Leftrightarrow 3 k \leq 98 \Leftrightarrow k \leq 32$ (vì k là số tự nhiên).

+) Vì ak ≤ ak + 1 $\Leftrightarrow k \leq 32$ nên ak ≥ ak + 1 $\Leftrightarrow k \geq 32.$

Do đó $a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{32} \leq a_{33} \geq a_{34} \geq a_{35} \geq ... \geq a_{100} .$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = 2^{2021} .$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{4} + \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} = 0$

\Rightarrow C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} = 2^{2 n}$

$\Rightarrow C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n}$

$= \frac{C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n}}{2}$

= \frac{2^{2 n}}{2} = 2^{2 n - 1} \Rightarrow 2 n - 1 = 2021 \Rightarrow n = 1011.

Câu 2

Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰.

Xem đáp án

Lời giải

Số hạng chứa x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ hay (–3x + 2)¹⁰ là

$C_{10}^{10 - 7} {(- 3 x)}^{7} 2^{10 - 7} = C_{10}^{3} {(- 3)}^{7} 2^{3} x^{7} = - 2099520 x^{7} .$

Vậy hệ số của x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ là –2099520.

Câu 3