Cho elip (E): x29+y24=1 với tiêu điểm F2(5;0). Tìm toạ độ điểm M∈(E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.

Có a2 = 9, suy ra a = 3. Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F2M = 3 – 53x. Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x ≤ 3 ⇒53x≤533⇒53x≤5⇒−53x≥−5 ⇒ F2M = 3 – x ≥ 3 – 5. Đẳng thức xảy ra khi x = 3. Vậy độ dài F2M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3; 0) của elip.

Câu hỏi:

11/07/2024 5,500

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Elip có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Có a² = 9, suy ra a = 3.

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F₂M = 3 – $\frac{\sqrt{5}}{3}$ x.

Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x ≤ 3 $\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3} x \leq \frac{\sqrt{5}}{3} 3 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3} x \leq \sqrt{5} \Rightarrow - \frac{\sqrt{5}}{3} x \geq - \sqrt{5}$

$\Rightarrow$ F₂M = 3 – x ≥ 3 – $\sqrt{5} .$

Đẳng thức xảy ra khi x = 3.

Vậy độ dài F₂M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3; 0) của elip.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 10 Toán

126 người thi tuần này

Bài tập Xác định vectơ. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá của vectơ lớp 10 (có lời giải)

10 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Vật lý

460 người thi tuần này

Bài tập Xác định sai số của phép đo trực tiếp lớp 10 (có lời giải)

12 câu 3.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Hóa học

204 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Hóa học 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Trãi (Đà Nẵng) có đáp án

21 câu 1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Tiếng Anh

528 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 Global Success Unit 3 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Sinh học

143 người thi tuần này

10 câu Trắc nghiệm Sinh học 10 Kết nối tri thức Bài 7 có đáp án

10 câu 3.6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Lịch sử

391 người thi tuần này

31 câu Trắc nghiệm Lịch sử 10 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

31 câu 5.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Địa lý

29 người thi tuần này

Trắc nghiệm Địa Lí 10 Bài 8 (có đáp án): Tác động của nội lực đến địa hình bề mặt Trái Đất

13 câu 10.5 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

396 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Giáo dục quốc phòng và an ninh 10 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 6.4 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

MF₁ = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.

Do đó a + e . (–a) ≤ MF₁ ≤ a + e . a

hay 147055090 ≤ MF₁ ≤ 152141431

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.

Câu 2

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là x² + y² = a².

Xét điểm M(x; y) $\in$ (E) và điểm M₁(x; y₁) $\in$ (C) sao cho y và y₁ luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A₁, A₂ của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính y² theo x².

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính y₁² theo x².

b) Tính tỉ số $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}}$ theo a và b.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = \frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}};$

$x^{2} + y_{1}^{2} = a^{2} \Rightarrow y_{1}^{2} = a^{2} - x^{2} .$

b) Từ a) ta suy ra $\frac{y^{2}}{y_{1}^{2}} = \frac{\frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a} .$ Vậy $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a} .$

Câu 3

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M lớn nhất, biết F₂ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF₁ + MF₂ = 2a, chứng minh:

a) MF₁ – MF₂ = $\frac{2 c}{a}$ x;

b) MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x;

c) MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.