Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1(–2; 0); b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng 35; c) Tâm sai bằng 53 và chu vi hình chữ nh...

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0). Theo đề bài ta có: – Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a2 = 9. – Elip có một tiêu điểm là F1(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = 5. Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x29+y25=1. b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0). Theo đề bài ta có: – Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c2 = 36. – Elip có tâm sai bằng suy ra ca=35⇒6a=35⇒a=10 ⇒b=a2−c2=102−62=8. Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x2100+y264=1. c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0). Theo đề bài ta có: – Elip có tâm sai bằng 53, suy ra ca=53⇒c2a2=59⇒a2−b2a2=59⇒1−b2a2=59 ⇒b2a2=49⇒ba=23⇒b=23a 1. – Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 ⇒22a+2b=20⇒a+b=5 2. Thế (1) vào (2) ta được 23a+a=5⇒53a=5⇒a=3⇒b=23a=23 . 3=2. Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x232+y222=1 hay x29+y24=1.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,769

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F₁(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$ ;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Elip có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a² = 9.

– Elip có một tiêu điểm là F₁(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b² = a² – c² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c² = 36.

– Elip có tâm sai bằng suy ra $\frac{c}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10$

$\Rightarrow b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1.$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3},$ suy ra $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9} \Rightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9} \Rightarrow 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$

$\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \Rightarrow b = \frac{2}{3} a (1) .$

– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 $\Rightarrow 2 (2 a + 2 b) = 20 \Rightarrow a + b = 5 (2) .$

Thế (1) vào (2) ta được $\frac{2}{3} a + a = 5 \Rightarrow \frac{5}{3} a = 5 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow b = \frac{2}{3} a = \frac{2}{3} . 3 = 2.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ hay $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

MF₁ = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.

Do đó a + e . (–a) ≤ MF₁ ≤ a + e . a

hay 147055090 ≤ MF₁ ≤ 152141431

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.

Câu 2

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là x² + y² = a².

Xét điểm M(x; y) $\in$ (E) và điểm M₁(x; y₁) $\in$ (C) sao cho y và y₁ luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A₁, A₂ của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính y² theo x².

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính y₁² theo x².

b) Tính tỉ số $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}}$ theo a và b.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = \frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}};$

$x^{2} + y_{1}^{2} = a^{2} \Rightarrow y_{1}^{2} = a^{2} - x^{2} .$

b) Từ a) ta suy ra $\frac{y^{2}}{y_{1}^{2}} = \frac{\frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a} .$ Vậy $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a} .$

Câu 3

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M lớn nhất, biết F₂ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M₁. Điểm M₁ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

b) Gọi M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M₂. Điểm M₂ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

c) Gọi M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M₃. Điểm M₃ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1(–2; 0); b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng 35; c) Tâm sai bằng 53 và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Cho elip (E):x225+y29=1. Tìm toạ độ điểm M∈ (E) sao cho độ dài F2M lớn nhất, biết F2 là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Cho elip (E): x29+y24=1 với tiêu điểm F2(5;0). Tìm toạ độ điểm M∈(E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé; b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M lớn nhất, biết F₂ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ với tiêu điểm $F_{2} (\sqrt{5}; 0)$ . Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.