Cho hai vectơ a→, b→ và một điểm M như Hình 3. a) Hãy vẽ các vectơ MN→=3a→, MP→=−3b→. b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: |3b→|, |−3b→|, |2a→+2b→|.

a) Ta có: MN→=3a→ nên vectơ MN→ cùng hướng với vectơ a→ và có độ dài bằng 3.|a→|. Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ a→ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ a→ thỏa mãn MN = 3.|a→|. Lại có: MP→=−3b→ nên vectơ MP→ ngược hướng với vectơ b→ và có độ dài bằng |−3|.|b→|=3.|b→|. Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ b→ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ b→ thỏa mãn MP=3.|b→|. b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là 2. Ta có vectơ a→ có độ dài là |a→|=2, vectơ b→ có độ dài là |b→|=2. Ta có: |3b→|=3.|b→|=3.2=32; |−3b→|=|−3|.|b→|=32. Lại có: 2a→+2b→=2(a→+b→) (1). Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với b→=BA→, a→=AC→. Ta có: a→+b→=AC→+BA→=BA→+AC→=BC→ (2). Từ (1) và (2) suy ra: 2a→+2b→=2BC→. Nên |2a→+2b→|=|2BC→|=2|BC→|=2BC. Ta có: BAC^=45°+90°=135° Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cosA = (2)2 + 22 – 2 . 2 . 2 . cos135° = 10 Suy ra BC = 10. Vậy |2a→+2b→|=|2BC→|=2|BC→|=2BC=210.

Câu hỏi:

13/07/2024 4,033

Cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $| 3 \vec{b} |, | - 3 \vec{b} |, | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ nên vectơ $\vec{M N}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $3. | \vec{a} |$ .

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\vec{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ thỏa mãn MN = $3. | \vec{a} |$ .

Lại có: $\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ nên vectơ $\vec{M P}$ ngược hướng với vectơ $\vec{b}$ và có độ dài bằng $| - 3 | . | \vec{b} | = 3. | \vec{b} |$ .

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\vec{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\vec{b}$ thỏa mãn $M P = 3. | \vec{b} |$ .

Media VietJack

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là $\sqrt{2}$ .

Ta có vectơ $\vec{a}$ có độ dài là $| \vec{a} | = 2$ , vectơ $\vec{b}$ có độ dài là $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ .

Ta có: $| 3 \vec{b} | = 3. | \vec{b} | = 3. \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ; $| - 3 \vec{b} | = | - 3 | . | \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ .

Lại có: $2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 (\vec{a} + \vec{b})$ (1).

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với $\vec{b} = \vec{B A}, \vec{a} = \vec{A C}$ .

Media VietJack

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A C} + \vec{B A} = \vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 \vec{B C}$ .

Nên $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 \vec{B C} | = 2 | \vec{B C} | = 2 B C$ .

Ta có: $\hat{B A C} = 45 ° + 90 ° = 135 °$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA

= ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 2² – 2 . $\sqrt{2}$ . 2 . cos135° = 10

Suy ra BC = $\sqrt{10}$ .

Vậy $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 \vec{B C} | = 2 | \vec{B C} | = 2 B C = 2 \sqrt{10}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ ;

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Do M là trung điểm của AB nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Do N là trung điểm của CD nên $\vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{A C} + \vec{B D} = (\vec{M C} - \vec{M A}) + (\vec{M D} - \vec{M B})$

$= (\vec{M C} + \vec{M D}) - (\vec{M A} + \vec{M B})$ $= (\vec{M C} + \vec{M D}) - \vec{0} = \vec{M C} + \vec{M D}$

$= 2 \vec{M N} + (\vec{N C} + \vec{N D}) = 2 \vec{M N} + \vec{0} = 2 \vec{M N}$ .

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ .

b) Ta có:

$\vec{B C} + \vec{A D} = (\vec{B N} + \vec{N C}) + (\vec{A N} + \vec{N D})$ $= (\vec{B N} + \vec{A N}) + (\vec{N C} + \vec{N D})$

$= (\vec{B N} + \vec{A N}) + \vec{0} = \vec{B N} + \vec{A N}$ $= (\vec{M N} - \vec{M B}) + (\vec{M N} - \vec{M A})$

$= 2 \vec{M N} - (\vec{M A} + \vec{M B}) = 2 \vec{M N} - \vec{0} = 2 \vec{M N}$

Do đó: $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$

Mà theo câu a, ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ .

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Câu 2

Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$ .

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$ .

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ $\vec{M B}$ cùng hướng với vectơ $\vec{B C}$ sao cho $| \vec{M B} | = \frac{1}{2} . | \vec{B C} |$ hay MB = $\frac{1}{2}$ BC.

Lại có: $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ $\vec{A N}$ cùng hướng với vectơ $\vec{N B}$ sao cho $| \vec{A N} | = 3 | \vec{N B} |$ hay AN = 3NB.

Có:

$\vec{C P} = \vec{P A}$ $\Leftrightarrow \vec{P A} - \vec{C P} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{P A} + (- \vec{C P}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{P A} + \vec{P C} = \vec{0}$

⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Media VietJack

b) Vì AN = 3NB nên BN = $\frac{1}{4}$ BA, do đó: $\vec{B N} = \frac{1}{4} \vec{B A}$ .

Ta có: $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ .

Vì MB = $\frac{1}{2}$ BC nên $M C = \frac{3}{2} B C$ , do đó: $\vec{M C} = \frac{3}{2} \vec{B C}$ .

P là trung điểm của AC nên $\vec{C P} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ .

Nên ta có: $\vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C A}$

$= (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$ .

Vậy $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ và $\vec{M P} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$ .

c) Theo câu b ta có:

$\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ $= \frac{1}{2} (\vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}) = \frac{1}{2} \vec{M P}$ .

Do đó: $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{M P}$ .

Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Câu 3

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tàu A.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hai vectơ a→, b→ và một điểm M như Hình 3. a) Hãy vẽ các vectơ MN→=3a→, MP→=−3b→. b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: |3b→|, |−3b→|, |2a→+2b→|.

Bình luận

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng: a) AC→+BD→=2MN→; b) AC→+BD→=BC→+AD→.

Cho tam giác ABC. a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: MB→=12BC→, AN→=3NB→, CP→=PA→. b) Biểu thị mỗi vectơ MN→, MP→ theo hai vectơ BC→, BA→. c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng MA→+MB→+MC→+MD→=4MG→.

Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc b→ của máy bay B theo vectơ vận tốc a→ của máy bay A.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho MA→+4MB→=0→.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng: a) MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→; b) AB→+AC→+AD→=2AC→.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $| 3 \vec{b} |, | - 3 \vec{b} |, | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ .

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ ;

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .