Giải phương trình sau: 6x⁴ – 5x³ – 38x² – 5x + 6 = 0.

6x⁴ – 5x³ – 38x² – 5x + 6 = 0 (1)

* Xét x = 0 thì 6.0⁴ – 5.0³ – 38.0² – 5.0 + 6 = 6 ≠ 0.

Do đó x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).

* Xét x ≠ 0: chia cả hai vế của phương trình (1) cho x², ta được:

$6x^2-5x-38-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$

$\iff (6x^2+\frac{6}{x^2})-(5x+\frac{5}{x})-38=0$

$\iff 6(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})-38=0$ (2)

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ $\Rightarrow t^2={(x+\frac{1}{x})}^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\Rightarrow t^2={(x+\frac{1}{x})}^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$

$\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$.

Khi đó, phương trình (2) tương đương:

6(t² – 2) – 5t – 38 = 0

$\iff$ 6t² – 12 – 5t – 38 = 0

$\iff$ 6t² – 5t – 50 = 0

$\iff$ 6t² + 15t – 20t – 50 = 0

$\iff$ (6t² + 15t) – (20t + 50) = 0

$\iff$ 3t(2t + 5) – 10(2t + 5) = 0

$\iff$ (2t + 5) (3t – 10) = 0

$\iff$ 2t + 5 = 0 hoặc 3t – 10 = 0

$\iff t=-\frac{5}{2}$ hoặc $t=\frac{10}{3}$.

+) Với $t=-\frac{5}{2}$ thì $x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2}$ $\iff x+\frac{5}{2}+\frac{1}{x}=0$

$\iff$2x² + 5x + 2 = 0

$\iff$2x² + 4x + x + 2 = 0

$\iff$2x(x + 2) + (x + 2) = 0

$\iff$(x + 2) (2x + 1) = 0

$\iff$x + 2 = 0 hoặc 2x + 1 = 0

$\iff$x = – 2 (TM) hoặc $x=-\frac{1}{2}$ (TM).

Do đó x = – 2; $x=-\frac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình (1).

+) Với $t=\frac{10}{3}$ thì $x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$$\iff x-\frac{10}{3}+\frac{1}{x}=0$

$\iff$ 3x² – 10x + 3 = 0

$\iff$ 3x² – 9x – x + 3 = 0

$\iff$ 3x(x – 3) – (x – 3) = 0

$\iff$ (x – 3)(3x – 1) = 0

$\iff$ x – 3 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

$\iff$ x = 3 hoặc $x=\frac{1}{3}$.

Do đó x = 3; $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là $S=\{2;-\frac{1}{2};3;\frac{1}{3}\}$.