Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Các đường phân giác BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh $\Delta AB\text{E = }\Delta ACF.$

b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh D là trung điểm của BC và EF // BC.

c) Chứng minh AH là trung trực của EF. So sánh HF và HC.

 

a) Do $\Delta ABC$ cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.$

Do BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}.$

Do CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACF}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}.$

Do đó $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}.$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$ có:

$\widehat{A}$ chung

AB = AC (chứng minh trên)

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACF(g-c-g).$

b) Do hai đường phân giác BE và CF của $\widehat{BAC}$ cắt nhau tại H nên AH là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ hay AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

Tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác của góc BAC nên AD vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó D là trung điểm của BC.

Do Tam giác ABE= tam giác ACF nên AE = AF (2 cạnh tương ứng).

Tam giác AEF có AE = AF nên Tam giác AEF cân tại A.

Do đó Góc AEF = góc AFE.

Xét trong Tam giác ABC: Góc ABC+ góc ACB+ góc BAC=180 độ

Mà góc ABC= góc ACB nên 2 góc ACB+ góc BAC=180 độ

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1).

Xét trong $\Delta AEF$: $\widehat{AFE}+\widehat{AEF}+\widehat{EAF}=180°$

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{AFE}$ nên $2\widehat{AEF}+\widehat{EAF}=180°$

$\Rightarrow \widehat{\text{AEF}}=\frac{180°-\widehat{EAF}}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{A\text{EF}}.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF // BC.

c) Gọi M là giao điểm của AH và EF.

Do AH là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ nên AM là đường phân giác của $\widehat{\text{EAF}}$.

$\Delta AEF$ cân tại A, có AM là đường phân giác nên AM vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực của $\Delta AEF$.

Do đó AM là đường trung trực của EF hay AH là đường trung trực của EF.

Do BE là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{HBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CF là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{HCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}.$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$.

$\Delta HBC$ có $\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$ nên $\Delta HBC$ cân tại H.

Do đó HB = HC.

Ta có $\widehat{BFH}$ là góc ngoài tại đỉnh F của $\Delta AFC$ nên $\widehat{B\text{}FH}=\widehat{F\text{A}C}+\widehat{FCA}$.

Do đó $\widehat{B\text{}FH}>\widehat{FCA}$.

Do $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ nên  $\widehat{FCA}=\widehat{FBH}$.

Do đó $\widehat{BFH}>\widehat{FBH}$.