Câu hỏi:

25/06/2022 9,103

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh aa. Các điểm M,N,P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB′,C′D′,DA sao cho \[BM = C\prime N = DP = \frac{a}{3}\]. Tìm diện tích thiết diện S của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh aa. Các điểm M,N,P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB′,C′D′,DA sao cho  (ảnh 1)

Ta có \[\frac{{BM}}{{C'N}} = \frac{{MB'}}{{ND'}} = \frac{{BB'}}{{C'D'}} = 1\] do đó theo định lý ta-let trong không gian thì  BC′, MN, B′D′ lần lượt cùng song song (hoặc nằm trong) với một mặt phẳng.

Mà \[B'D'//\left( {BC'D} \right)\] và \[BC' \subset \left( {BC'D} \right)\] nên ta có \[MN//\left( {BC'D} \right)\].

Chứng minh tương tự ta có \[NP//\left( {BC'D} \right)\] Do đó \[\left( {MNP} \right)//\left( {BC'D} \right)\]

Qua P, kẻ \[PQ//BD,Q \in AB\]. Qua  N, kẻ \[NF//{\rm{C'}}D,F \in D'D\].

Qua M, kẻ \[ME//{\rm{BC'}},E \in B'C'\]

Khi đó ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương là lục giác MENFPQ.

Dễ thấy\[EN = PF = MQ = \frac{{a\sqrt 2 }}{3},NF = PQ = ME = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\] và tam giác  BC′D là tam giác đều vì\[BC' = BD = DC' = a\sqrt 2 \]

Do đó\[\widehat {ENF} = \widehat {NFP} = \widehat {FPQ} = \widehat {PQM} = \widehat {QME} = \widehat {MEN} = {120^ \circ }\]

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh aa. Các điểm M,N,P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB′,C′D′,DA sao cho  (ảnh 2)

Kẻ các đường cao EH,PK của các hình thang cân MENF,MQPF ta có:

\[EH = ME\sin {60^0} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{PK = FP\sin {{60}^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}}\\{MH = ME\cos {{60}^0} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}\\{ \Rightarrow MF = 2MH + EN = 2.\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + \frac{{a\sqrt 2 }}{3} = a\sqrt 2 }\end{array}\]

Diện tích hình thang MENF là:

\[{S_1} = \frac{1}{2}\left( {EN + MF} \right).EH = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9}\]

Diện tích hình thang MQPF là:

\[{S_2} = \frac{1}{2}\left( {QP + MF} \right).PK = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\]

Vậy \[{S_{MENFPQ}} = {S_1} + {S_2} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9} + \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}} = \frac{{13{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\]

Đáp án cần chọn là: C

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi điểm M là điểm thuộc cạnh SD sao cho SM= (ảnh 3)

Gọi mặt phẳng chứa AM và song song với BD là (α).

Trong (SBD) kẻ\[MN//BD\,\,\left( {N \in SB} \right)\] khi đó ta có\[\left( \alpha \right) \equiv \left( {AMN} \right)\]

Gọi\[O = AC \cap BD\] trong (SBD) gọi \[\left\{ I \right\} = MN \cap SO\]  trong (SAC) gọi\[K = AI \cap SC\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in AI \subset (AMN)}\\{K \in SC}\end{array}} \right. \Rightarrow K = \left( {AMN} \right) \cap SC\) hay\[K = \left( \alpha \right) \cap SC\]

Áp dụng định lí Talets ta có\[\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}\]

\[ \Rightarrow \frac{{IS}}{{IO}} = 2\]

Ta có: O là trung điểm của AC nên\[\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC, cát tuyến AIK ta có:

\[\frac{{IS}}{{IO}}.\frac{{AO}}{{AC}}.\frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}.\frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Rightarrow \frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A′ là điểm trên SA sao cho  (ảnh 1)

Gọi O là giao của AC và BD. Ta có O là trung điểm của đoạn thẳng AC, BD.

Các đoạn thẳng SO,A′C′, B′D′ đồng quy tại I.

Ta có: \[{S_{SA'I}} + {S_{SC'I}} = {S_{SA'C'}} \Leftrightarrow \frac{{{S_{SA'I}}}}{{{S_{SAC}}}} + \frac{{{S_{SC'I}}}}{{{S_{SAC}}}} = \frac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{S_{SA'I}}}}{{2{S_{SAO}}}} + \frac{{{S_{SC'I}}}}{{2{S_{SCO}}}} = \frac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{SA'}}{{2SA}}.\frac{{SI}}{{SO}} + \frac{{SC'}}{{2SC}}.\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{2SO}}\left( {\frac{{SA'}}{{SA}} + \frac{{SC'}}{{SC}}} \right) = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}}\]

Tương tự:\[\frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SD}}{{SD'}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}}\]

Suy ra:\[\frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SD}}{{SD'}} - \frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{SA}}{{SA'}} = \frac{3}{2}\]

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP