Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Trên các cạnh AA′, BB′, CC′ lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \[\frac{{A'M}}{{{\rm{AA}}'}} = \frac{1}{3},\frac{{B'N}}{{BB'}} = \frac{2}{3},\frac{{C'P}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\]. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD′ tại Q. Tính tỉ số \[\frac{{D'Q}}{{{\rm{DD}}'}}\]
A.\[\frac{1}{6}\]
b. \[\frac{1}{3}\]
c. \[\frac{5}{6}\]
d. \[\frac{2}{3}\]
Quảng cáo
Trả lời:

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(BB\prime C\prime C)//(AA\prime D\prime D)}\\{(MNP) \cap (BB\prime C\prime C) = NP}\\{(MNP) \cap (AA\prime D\prime D) = MQ}\end{array}} \right. \Rightarrow NP//MQ\)
Tương tự:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(AA\prime B\prime B)//(CC\prime D\prime D)}\\{(MNP) \cap (AA\prime B\prime B) = MN}\\{(MNP) \cap (CC\prime D\prime D) = PQ}\end{array} \Rightarrow MN//PQ} \right.\)
Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Mặt khác\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BN = \frac{1}{3}BB\prime = \frac{1}{3}AA\prime }\\{AM = \frac{2}{3}AA\prime }\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{BN}}{{AM}} = \frac{1}{2}\)
Trong mặt phẳng (ABB′A′), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME ⇒N là trung điểm của đoạn thẳng ME.
Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP//MQ và N là trung điểm EM)\[ \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF\]
Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP=MQ⇒Q là trung điểm MF hay\[\frac{{FQ}}{{FM}} = \frac{1}{2}\]
Lại có \[D'Q\,//\,A'M \Rightarrow \frac{{D'Q}}{{A'M}} = \frac{{FQ}}{{FM}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{D'Q}}{{\frac{1}{3}AA'}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{D'Q}}{{DD'}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]
Đáp án cần chọn là: A
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[\frac{1}{3}\]
B. \[\frac{2}{3}\]
C. \[\frac{1}{2}\]
D. \[\frac{3}{4}\]
Lời giải
Gọi mặt phẳng chứa AM và song song với BD là (α).
Trong (SBD) kẻ\[MN//BD\,\,\left( {N \in SB} \right)\] khi đó ta có\[\left( \alpha \right) \equiv \left( {AMN} \right)\]
Gọi\[O = AC \cap BD\] trong (SBD) gọi \[\left\{ I \right\} = MN \cap SO\] trong (SAC) gọi\[K = AI \cap SC\] ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in AI \subset (AMN)}\\{K \in SC}\end{array}} \right. \Rightarrow K = \left( {AMN} \right) \cap SC\) hay\[K = \left( \alpha \right) \cap SC\]
Áp dụng định lí Talets ta có\[\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}\]
\[ \Rightarrow \frac{{IS}}{{IO}} = 2\]
Ta có: O là trung điểm của AC nên\[\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC, cát tuyến AIK ta có:
\[\frac{{IS}}{{IO}}.\frac{{AO}}{{AC}}.\frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}.\frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Rightarrow \frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2
A.\[T = \frac{3}{2}\]
b. \[T = \frac{1}{3}\]
C. \[T = 2\]
D. \[T = \frac{1}{2}\]
Lời giải
Gọi O là giao của AC và BD. Ta có O là trung điểm của đoạn thẳng AC, BD.
Các đoạn thẳng SO,A′C′, B′D′ đồng quy tại I.
Ta có: \[{S_{SA'I}} + {S_{SC'I}} = {S_{SA'C'}} \Leftrightarrow \frac{{{S_{SA'I}}}}{{{S_{SAC}}}} + \frac{{{S_{SC'I}}}}{{{S_{SAC}}}} = \frac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{S_{SA'I}}}}{{2{S_{SAO}}}} + \frac{{{S_{SC'I}}}}{{2{S_{SCO}}}} = \frac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{SA'}}{{2SA}}.\frac{{SI}}{{SO}} + \frac{{SC'}}{{2SC}}.\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{2SO}}\left( {\frac{{SA'}}{{SA}} + \frac{{SC'}}{{SC}}} \right) = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SC'}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}}\]
Tương tự:\[\frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SD}}{{SD'}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}}\]
Suy ra:\[\frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SD}}{{SD'}} - \frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{SA}}{{SA'}} = \frac{3}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3
A.\[S = \frac{{17\sqrt 3 {a^2}}}{{18}}.\]
B. \[S = \frac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{18}}.\]
C. \[S = \frac{{13\sqrt 3 {a^2}}}{{18}}.\]
D. \[S = \frac{{11\sqrt 3 {a^2}}}{{18}}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[AB = \frac{1}{3}CD\]
b. \[AB = \frac{3}{2}CD\]
c. \[AB = 3CD\]
d. \[AB = \frac{2}{3}CD\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[\frac{{31}}{7}\]
B. \[\frac{{18}}{7}\]
C. \[\frac{{24}}{7}\]
D. \[\frac{{15}}{7}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\[\frac{{3\sqrt {15} {a^2}}}{{16}}\]
B. \[\frac{{3\sqrt 5 {a^2}}}{{16}}\]
C. \[\frac{{3\sqrt 5 {a^2}}}{8}\]
D. \[\frac{{\sqrt {15} {a^2}}}{{16}}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.Tam giác.
B.Tứ giác.
C.Ngũ giác.
D.Lục giác
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.