Câu hỏi:
25/06/2022 5,402Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Trên các cạnh AA′, BB′, CC′ lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \[\frac{{A'M}}{{{\rm{AA}}'}} = \frac{1}{3},\frac{{B'N}}{{BB'}} = \frac{2}{3},\frac{{C'P}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\]. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD′ tại Q. Tính tỉ số \[\frac{{D'Q}}{{{\rm{DD}}'}}\]
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(BB\prime C\prime C)//(AA\prime D\prime D)}\\{(MNP) \cap (BB\prime C\prime C) = NP}\\{(MNP) \cap (AA\prime D\prime D) = MQ}\end{array}} \right. \Rightarrow NP//MQ\)
Tương tự:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(AA\prime B\prime B)//(CC\prime D\prime D)}\\{(MNP) \cap (AA\prime B\prime B) = MN}\\{(MNP) \cap (CC\prime D\prime D) = PQ}\end{array} \Rightarrow MN//PQ} \right.\)
Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Mặt khác\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BN = \frac{1}{3}BB\prime = \frac{1}{3}AA\prime }\\{AM = \frac{2}{3}AA\prime }\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{BN}}{{AM}} = \frac{1}{2}\)
Trong mặt phẳng (ABB′A′), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME ⇒N là trung điểm của đoạn thẳng ME.
Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP//MQ và N là trung điểm EM)\[ \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF\]
Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP=MQ⇒Q là trung điểm MF hay\[\frac{{FQ}}{{FM}} = \frac{1}{2}\]
Lại có \[D'Q\,//\,A'M \Rightarrow \frac{{D'Q}}{{A'M}} = \frac{{FQ}}{{FM}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{D'Q}}{{\frac{1}{3}AA'}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{D'Q}}{{DD'}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]
Đáp án cần chọn là: A
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi mặt phẳng chứa AM và song song với BD là (α).
Trong (SBD) kẻ\[MN//BD\,\,\left( {N \in SB} \right)\] khi đó ta có\[\left( \alpha \right) \equiv \left( {AMN} \right)\]
Gọi\[O = AC \cap BD\] trong (SBD) gọi \[\left\{ I \right\} = MN \cap SO\] trong (SAC) gọi\[K = AI \cap SC\] ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in AI \subset (AMN)}\\{K \in SC}\end{array}} \right. \Rightarrow K = \left( {AMN} \right) \cap SC\) hay\[K = \left( \alpha \right) \cap SC\]
Áp dụng định lí Talets ta có\[\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}\]
\[ \Rightarrow \frac{{IS}}{{IO}} = 2\]
Ta có: O là trung điểm của AC nên\[\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC, cát tuyến AIK ta có:
\[\frac{{IS}}{{IO}}.\frac{{AO}}{{AC}}.\frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}.\frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{KC}}{{KS}} = 1 \Rightarrow \frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{2}\]
Đáp án cần chọn là: C
Lời giải
Ta có \[\frac{{BM}}{{C'N}} = \frac{{MB'}}{{ND'}} = \frac{{BB'}}{{C'D'}} = 1\] do đó theo định lý ta-let trong không gian thì BC′, MN, B′D′ lần lượt cùng song song (hoặc nằm trong) với một mặt phẳng.
Mà \[B'D'//\left( {BC'D} \right)\] và \[BC' \subset \left( {BC'D} \right)\] nên ta có \[MN//\left( {BC'D} \right)\].
Chứng minh tương tự ta có \[NP//\left( {BC'D} \right)\] Do đó \[\left( {MNP} \right)//\left( {BC'D} \right)\]
Qua P, kẻ \[PQ//BD,Q \in AB\]. Qua N, kẻ \[NF//{\rm{C'}}D,F \in D'D\].
Qua M, kẻ \[ME//{\rm{BC'}},E \in B'C'\]
Khi đó ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương là lục giác MENFPQ.
Dễ thấy\[EN = PF = MQ = \frac{{a\sqrt 2 }}{3},NF = PQ = ME = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\] và tam giác BC′D là tam giác đều vì\[BC' = BD = DC' = a\sqrt 2 \]
Do đó\[\widehat {ENF} = \widehat {NFP} = \widehat {FPQ} = \widehat {PQM} = \widehat {QME} = \widehat {MEN} = {120^ \circ }\]
Kẻ các đường cao EH,PK của các hình thang cân MENF,MQPF ta có:
\[EH = ME\sin {60^0} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{PK = FP\sin {{60}^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}}\\{MH = ME\cos {{60}^0} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}\\{ \Rightarrow MF = 2MH + EN = 2.\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + \frac{{a\sqrt 2 }}{3} = a\sqrt 2 }\end{array}\]
Diện tích hình thang MENF là:
\[{S_1} = \frac{1}{2}\left( {EN + MF} \right).EH = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9}\]
Diện tích hình thang MQPF là:
\[{S_2} = \frac{1}{2}\left( {QP + MF} \right).PK = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\]
Vậy \[{S_{MENFPQ}} = {S_1} + {S_2} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9} + \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}} = \frac{{13{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.