Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x=0;x=1. Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x($0\le x\le 1$) là một tam giác đều có cạnh là 4$\sqrt{\ln (1+x)}$ Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là $V=a\sqrt{b}(c\ln 2-1)$ với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng S=$a^2-ab+c$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x^2}$(x khác 0), biết rằng F(-1)=1, F(1)=4, f(1)=0

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{1+\sin 2x}$ với $x\in R\setminus \{\frac{-\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{ℝ}\}$. Biết F(0)=1,F($\mathrm{\pi }$)=0, tính giá trị biểu thức $P=F\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{12}\right)-F\left(\frac{11\mathrm{\pi }}{12}\right)$

Biết ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x^2+1}dx=\frac{-1}{m}+n\ln 2$, với m,n là các số nguyên. Tính m+n.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. và thỏa mãn ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}cotx.f\left({\sin }^{2}x\right)dx={\int }_1^{16}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=1$ . Tính I=${\int }_{\frac{1}{8}}^1\frac{f\left(4x\right)}{x}dx.$

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2) = 1 và ${\int }_1^{2}F\left(x\right)dx=5$. Tính I=${\int }_1^2(x-1)f\left(x\right)dx$

Cho đồ thị biểu diên vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 5 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét.

Cho a là số thực dương, tính tích phân $I={\int }_{-1}^a\left|x\right|dx$ theo a