Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\) \(B\left( {4; - 7; - 9} \right)\), tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\) là mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\). Giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}\) bằng:

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\)

- Tính lần lượt các độ dài đoạn \(M{A^2};M{B^2}\), sử dụng công thức \(M{A^2} = {\left( {{x_M} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_M} - {z_A}} \right)^2}\)

- Biểu thức tìm được có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\)

Do đó tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm \( \Rightarrow a = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = - 1\), bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 \)

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\).