Biết rằng $\int\limits_0^6 {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}dx} = a + b\ln 7,$ với $a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.$ Tính $S = a + 2b.$

Cho các hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = {\log _b}x$ có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng $x = 5$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = {\log _b}x$ lần lượt tại các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C.$ Biết rằng $BC = 2AB.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {1; - 1;3} \right)$, song song với mặt phẳng $\left( P \right):x + 4y - 2z + 1 = 0$ và cắt đường thẳng $d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}.$

Cho Parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho $AB = 2.$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $B\left( {2;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} - 3} \right)$, $C\left( { - 6;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)$. Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm $A\left( {a;b;0} \right)$, ($b > 0$) sao cho giá trị của $\cos A$ nhỏ nhất. Tính $a + b.$

Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.$ Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx}$ bằng

Từ một tấm tôn dạng hình tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng $3m$ và $4m,$ một anh thợ cần cắt một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp tam giác trên. Anh ta gò tấm tôn hình chữ nhật này thành một hình trụ không đáy (như hình vẽ) để đổ thóc vào trong. Thể tích lớn nhất của khối trụ thu được gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Tập nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {2x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 3} \right)$ là