Câu hỏi:
05/07/2022 161Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên \[\left[ {0;1} \right]\]. Biết \[f\left( x \right).f\left( {1 - x} \right) = 1\] với \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]. Tích phân \[\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \] bằng
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án B
Xét \[I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \].
Đặt \[x = 1 - t \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {\frac{{d\left( {1 - t} \right)}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + f\left( {1 - t} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( {1 - x} \right)}}} \].
Bài ra \[f\left( x \right).f\left( {1 - x} \right) = 1 \Rightarrow f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} \].
\[ \Rightarrow I + I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} + \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{1 + f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx} = 1 \Rightarrow I = \frac{1}{2}.\]
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho các hàm số \[y = {\log _a}x\] và \[y = {\log _b}x\] có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng \[x = 5\] cắt trục hoành, đồ thị hàm số \[y = {\log _a}x\] và \[y = {\log _b}x\] lần lượt tại các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C.\] Biết rằng \[BC = 2AB.\] Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[B\left( {2;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} - 3} \right)\], \[C\left( { - 6;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\]. Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm \[A\left( {a;b;0} \right)\], (\[b > 0\]) sao cho giá trị của \[\cos A\] nhỏ nhất. Tính \[a + b.\]
Câu 3:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\]. Biết \[f'\left( x \right).\cos x + f\left( x \right).\sin x = 1\] với \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\] và \[f\left( 0 \right) = 1.\] Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx} .\]
Câu 4:
Cho \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\] Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \[\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)\] và \[\vec v = \left( {2;2; - 1} \right).\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 6:
Tìm tập xác định D của hàm số \[y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{2020}}.\]
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] bằng
về câu hỏi!