Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$ và đáy ABC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai? 

Ta có:

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{D\text{'}N}$

$=2\overrightarrow{BC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{DD\text{'}}$

$=2\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC\text{'}}\right)+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}$

$=2\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}$

$=2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA\text{'}}$

$=2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow M{N}^2={\left(2\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}\right)}^2$

$=4A{D}^2+9AA{\text{'}}^2+A{B}^2+12\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA\text{'}}-4\overrightarrow{AD.}\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{AB}$

$=12+12\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA\text{'}}-4\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{AB}$

Ta có:

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AA\text{'}}=AD.AA\text{'}.\cos \angle DAA\text{'}=\mathrm{1.1.}\cos {60}^0=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=AD.AB.\cos \angle BAD=\mathrm{1.1.}\cos {60}^0=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{AA\text{'}}.\overrightarrow{AB}=AA\text{'}.AB.\cos \angle A\text{'}AB=\mathrm{1.1.}\cos {60}^0=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow M{N}^2=14+12.\frac{1}{2}-4.\frac{1}{2}-6.\frac{1}{2}=15.$

Vậy $MN=\sqrt{15}.$

Chọn D.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=A_{10}^8-A_9^7=1632960.$

Gọi A là biến cố: “số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ và chữ số 0 có hai chữ số kề nó là chữ số lẻ”.

Gọi số có 8 chữ số là $\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_8}.$

Chọn 2 chữ số lẻ đứng cạnh chữ số 0 có $A_5^2=20$ cách, coi 3 chữ số này là 1 chữ số X.

Chọn 2 chữ số lẻ còn lại có $C_3^2=3$ cách.

Chọn 3 chữ số còn lại là số chẵn khác 0 có $C_4^3=4$ cách.

Hoán đổi vị trí chữ số X,  2 chữ số lẻ còn lại và 3 chữ số còn lại là số chẵn khác 0 có 6! cách.

$\Rightarrow$ Có $\mathrm{20.3.4.6}!=172800$ số $\Rightarrow n\left(A\right)=172800.$

Vậy xác suất của biến cố A là $P\left(A\right)=\frac{172800}{1632960}=\frac{20}{189}.$

Chọn C.