Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng (P) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;3)$ 

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ sao cho:

 $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0\iff$ (–1).A + (–2).B + 3.C = 0

$\iff$A = 3C – 2B $\Rightarrow \overrightarrow{n}=(3C-2B;B;C)$ 

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 0) và có Vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3C-2B;B;C)$ có dạng:

 (3C – 2B).(x – 1) + By + Cz = 0

$\iff$(3C – 2B).x + By + Cz + 2B – 3C = 0

Khoảng cách từ C(1; 1; 1) đến (P) là d với:

$d=\frac{|(3C-2B).1+B.1+C.1+2B-3C|}{\sqrt{{(3C-2B)}^2+B^2+C^2}}$ 

$=\frac{|B+C|}{\sqrt{5B^2-12BC+10C^2}}$ 

+ Với C = 0 $\Rightarrow d=\frac{1}{\sqrt{5}}$ (loại)

+ Với C ≠ 0 $\Rightarrow d=\frac{|\frac{B}{C}+1|}{\sqrt{5{\left(\frac{B}{C}\right)}^2-12\left(\frac{B}{C}\right)+10}}$ 

Đặt $t=\frac{B}{C}$ (t > 0)

Ta có: $d=\frac{|t+1|}{\sqrt{5t^2-12t+10}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ 

Bình phương hai vế, ta được:

3|t + 1|² = 4(5t² – 12t + 10)

$\iff$ 3.(t² + 2t + 1) = 4.(5t² – 12t + 10)

$\iff$ 3t² + 6t + 3 = 20t² – 48t + 40

$\iff$17t² – 54t + 37 = 0

$\iff [\begin{array}{c}t=\frac{37}{17}\\ t=1\end{array}$ 

+ Với  $t=\frac{37}{17}$ , chọn B = 37, C = 17 $\Rightarrow$A = –D = –23.

Do đó (P): –23x + 37y + 17z + 23 = 0

+ Với t = 1, chọn B = C = 1 $\Rightarrow$ A = –D = 1.

Do đó (P): x + y + z – 1 = 0.