Cho lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $(A\text{'}B\text{'}C\text{'})$ là trung điểm H của A’B’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $AA\text{'}$,$B\text{'}C\text{'}$. Biết rằng AH = 2a và $\alpha$ là số đo của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(AC\text{'}H)$. Khi đó $\cos \left(\alpha \right)$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=1$. Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Xét mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thay đổi đi qua điểm G và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{SD.SE}+\frac{1}{SE.SF}+\frac{1}{SF.SD}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại điểm P. Đặt $t=\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$. Tìm t.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,AB=a, AD=2a; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{5}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng

Cho tứ diện ABCD có $AB=a\sqrt{2}$, AC=AD=a, BC=BD=a, CD=a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD.

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có $\widehat{BAD}=\widehat{BAA\text{'}}=\widehat{DAA\text{'}}={60}^0$,$AB=AD=AA\text{'}=a$.  Đường thẳng AC’ cắt các mặt phẳng $(A\text{'}BD)$ và $(CB\text{'}D\text{'})$ lần lượt tại M và N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

Cho tứ diện ABCD. Xét điểm M thay đổi là một điểm trong của tứ diện. Gọi A',B',C',D' lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, BM, CM, DM với các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{AM}{MA\text{'}}+\frac{BM}{MB\text{'}}+\frac{CM}{MC\text{'}}+\frac{DM}{MD\text{'}}$ bằng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét (P) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng CD’. Giá trị nhỏ nhất của số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BDD’B’) bằng