Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’ = 1. Xét các điểm M,N,P thay đổi lần lượt trên các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho $AM+BN+CP=1$. Gọi I là điểm cố định mà mặt phẳng (MNP) luôn đi qua. Độ dài của vecto $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$ bằng

Cho tứ diện ABCD có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}={90}^0$, $AB=1,AC=2$,$AD=3$. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là

Cho hình chóp S.ABC có $AB=a,AC=2a$,$\widehat{BAC}={60}^0$, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $AB=1,AD=2$,$A\text{'}A=3$. Xét M là điểm thay đổi trong không gian. Gọi S là tổng các bình phương khoảng cách từ M đến tất cả các đỉnh của hình hộp. Giá trị nhỏ nhất của S bằng

Cho đa diện (H), biết rằng mỗi mặt của (H) đều là những đa giác có số cạnh là lẻ và tồn tại ít nhất một mặt có số cạnh khác với các mặt còn lại. Hỏi khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau

Trong không gian cho ABCD là hình chữ nhật, $AB=2,AD=1$. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD) không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD, song song với cạnh AB và cách AB một khoảng bằng a. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay T, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục d. Cho biết $d\left(AB,d\right)<d\left(CD,d\right)$. Tính a biết rằng thể tích khối T gấp 3 lần thể tích của khối cầu có đường kính AB.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2, cạnh bên bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (AB'C') bằng

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi $\alpha$ là số đo của góc hợp bởi hai mặt phẳng (AB’C) và (BCC’B’). Khi đó $\cos \left(\alpha \right)$ bằng