Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x ,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = k{\rm{ }}\left( {k > 0} \right).\] Đường thẳng \[y = ax + b\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng OA và chia (H) thành hai phần có diện tích \[{S_1}\], \[{S_2}\] như hình vẽ. Biết \[3{S_1} + {S_2} = 12,\] tính \[a + b.\]

Cho \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\] và \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - 3.\] Tích phân \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \] bằng

Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có thể tích bằng \[9{a^3}\] và M là điểm nằm trên cạnh \[CC'\] sao cho \[MC = 2MC'\]. Thể tích khối tứ diện \[AB'CM\] bằng

Cho hàm số \[y = \frac{{mx + 7m - 8}}{{x - m}}\], với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {2;3;4} \right),{\rm{ }}B\left( {6;2;2} \right).\] Tìm tọa độ của vectơ \[\overrightarrow {AB} .\]

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{4x + 3}}\] là

Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số thực dương thỏa mãn \[b > 1\] và \[\sqrt a \le b < a.\] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {\log _{\frac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\frac{a}{b}} \right)\] bằng