Đồ thị hàm số nào sau đây có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục tung có hệ số góc âm?

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng $y=-2x+5$ nên có hệ số góc .

Suy ra $y^{\text{'}}=-2$ hay $x^2-4x+1=-2\iff \left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=1,y=\frac{4}{3}\\ x=3,y=-4\end{array}\right.$

Với $x=1;y=\frac{4}{3}$ thì $d_1:y=-2\left(x-1\right)+\frac{4}{3}$ hay $d_1:y=-2x+\frac{10}{3}$
Với $x=3;y=-4$ thì $d_2:y=-2\left(x-3\right)-4$ hay $d_2:y=-2x+2$
Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: $D=R\setminus \left\{1\right\}$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi $M\left(x_o;y_o\right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

$\text{Δ}:y=y^{\text{'}}\left(x_o\right)\left(x-x_o\right)+y_o=\frac{-1}{{\left(x_o-1\right)}^2}\left(x-x_o\right)+\frac{2x_o-1}{x_o-1}$

Gọi $A\left(x_A;0\right)$ là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục $Ox;B\left(0;y_B\right)$  là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục Oy.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_A=2x_0^2-2x_o+1\\ y_B=\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

⇒ tam giác OAB cân tại O

$\iff OA=OB\iff \left|x_A\right|=\left|y_B\right|$

$\iff \left|2x_0^2-2x_o+1\right|=\left|\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\right|=0$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|2x_0^2-2x_o+1\right|=0\\ 1-\frac{1}{{(x_o-1)}^2}{(x_o-1)}^2=0\end{array}\right.\iff {(x_o-1)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=0\left(tm\right)\\ x_0=2\left(tm\right)\end{array}\right.$

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B