ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

Đối với hàm số $y=\frac{5x+1}{x+1}$ thì $y^{\text{'}}=\frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}>0,\forall x\ne -1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số: $y=\frac{2x+1}{x+1}$ thì $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}>0,\forall x\ne -1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số

$y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+4x+1=>y^{\text{'}}=x^2+2x+4={(x+1)}^2+3>0,\forall x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Xét hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ Có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: A(0;1)

Có $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}<0\forall x\ne 1\Rightarrow y^{\text{'}}\left(0\right)<0$
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A có hệ số âm.

Đáp án cần chọn là: D

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^3+\frac{5}{4}x-2=x^2+x-2\\ 3x^2+\frac{5}{4}=2x+1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^3-x^2+\frac{1}{4}x=0\\ 3x^2-2x+\frac{1}{4}=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{6}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=\frac{1}{2}$

Vậy $x=\frac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử $\left(x_0;y_0\right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: $y^{\text{'}}=4{\text{x}}^3-4\text{x}$

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $\left(x_0;y_0\right)$

$y=\left(4{\text{x}}_0^3-4{\text{x}}_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\iff y=\left(4{\text{x}}_0^3-4{\text{x}}_0\right)\left(x-x_0\right)+{x_0}^4-2x_0^2$

Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:

$0=(4x_0^3-4x_0)(0-x_0)+x_0^4-2x_0^2$

$\iff -3x_0^4+2x_0^2=0\iff x_0^2(-3x_0^2+2)=0\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: D

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng $y=-2x+5$ nên có hệ số góc .

Suy ra $y^{\text{'}}=-2$ hay $x^2-4x+1=-2\iff \left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=1,y=\frac{4}{3}\\ x=3,y=-4\end{array}\right.$

Với $x=1;y=\frac{4}{3}$ thì $d_1:y=-2\left(x-1\right)+\frac{4}{3}$ hay $d_1:y=-2x+\frac{10}{3}$
Với $x=3;y=-4$ thì $d_2:y=-2\left(x-3\right)-4$ hay $d_2:y=-2x+2$
Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $y^{\text{'}}=6{\text{x}}^2-12\text{x}+18$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\left(x_0;y_0\right)$ có hệ số góc $k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=12x$ nên:

$k=12\iff 6x_0^2-12x_0+18=12\iff {\left(x_0-1\right)}^2=0\iff x_0=1\Rightarrow y_0=15$

$\Rightarrow y=12\left(x-1\right)+15\Rightarrow y=12x+3$

Vậy $a=12,b=3\Rightarrow a+b=15$

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử M(a;b) là điểm thuộc đồ thị hàm sao cho tiếp tuyến $\left(\text{Δ}\right)$tại đó có hệ số góc nhỏ nhất là k.

$\Rightarrow \left(\text{Δ}\right):y=y^{\text{'}}\left(a\right).(x-a)+b$

Do $k_{\min }\Rightarrow \left(3a^2-2a\right)\min$

Xét $3\left(a^2-2.\frac{1}{3}a+\frac{1}{9}\right)=3{\left(a-\frac{1}{3}\right)}^2\ge 0\iff 3a^2-2a+\frac{1}{3}\ge 0\iff 3a^2-2a\ge \frac{-1}{3}$

$\Rightarrow k=-\frac{1}{3}$ khi $a=\frac{1}{3}\Rightarrow b=\frac{25}{27}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $y^{\text{'}}=4{\text{x}}^3-4\left(m+1\right)x\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=-4m$

Vì tiếp tuyến $\text{Δ}$ vuông góc với đường thẳng d nên 

$k.\left(-\frac{1}{4}\right)=-1\iff k=4=y^{\text{'}}\left(1\right)=-4m$

Vậy m thỏa mãn đề bài là  $m=-1$

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: $D=R\setminus \left\{1\right\}$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi $M\left(x_o;y_o\right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

$\text{Δ}:y=y^{\text{'}}\left(x_o\right)\left(x-x_o\right)+y_o=\frac{-1}{{\left(x_o-1\right)}^2}\left(x-x_o\right)+\frac{2x_o-1}{x_o-1}$

Gọi $A\left(x_A;0\right)$ là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục $Ox;B\left(0;y_B\right)$  là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục Oy.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_A=2x_0^2-2x_o+1\\ y_B=\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

⇒ tam giác OAB cân tại O

$\iff OA=OB\iff \left|x_A\right|=\left|y_B\right|$

$\iff \left|2x_0^2-2x_o+1\right|=\left|\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\right|=0$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|2x_0^2-2x_o+1\right|=0\\ 1-\frac{1}{{(x_o-1)}^2}{(x_o-1)}^2=0\end{array}\right.\iff {(x_o-1)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=0\left(tm\right)\\ x_0=2\left(tm\right)\end{array}\right.$

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $y^{\text{'}}=x^2-2mx-6m$

Gọi điểm M(x;y) là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

$y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-m{x}^2-6mx-9m+12\iff -(x^2+6x+9).m+\frac{x^3}{3}+12-y=0,\forall m$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-(x^2+6x+9)=0\\ \frac{x^3}{3}+12-y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{(x+3)}^2=0\\ \frac{x^3}{3}+12-y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-3\\ y=3\end{array}\right.$

Do đó M(−3;3) là điểm cố định thuộc đồ thị (Cm).

$\Rightarrow y^{\text{'}}\left(-3\right)=9$

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số (Cm) tại M là:

$y=9\left(x+3\right)+3=9x+30$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+12x+9;y^{\text{'}\text{'}}=6x+12=0\iff x=-2$

Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(−2;1)

Xét đường thẳng d đi qua U(−2;1) có phương trình $y=k_d\left(x+2\right)+1$ hay $y=k_{d}x+2k_d+1$

d cắt Ox,Oy lần lượt tại $A\left(-\frac{2k_d+1}{k_d};0\right),B\left(0;2k_d+1\right)$

$OA=2017.OB\iff \left|\frac{2k_d+1}{k_d}\right|=2017\left|2k_d+1\right|\iff k_d=\pm \frac{1}{2017};k_d=-\frac{1}{2}$

Nếu $k_d=-\frac{1}{2}$ thì $y=-\frac{1}{2}x$ nên $A\equiv B$  (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của d là $k_d=\pm \frac{1}{2017}$
Do đó có 2 đường thẳng d thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị k thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)

$\begin{array}{l}-2x+m=\frac{2x+3}{x+2}\\ \iff \left(x+2\right)\left(-2x+m\right)=2x+3\\ \iff -2x^2+\left(m-4\right)x+2m=2x+3\\ \iff 2x^2+\left(6-m\right)x+3-2m=0\left(\ast \right)\end{array}$

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2  nghiệm phân biệt khác −2

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta ={(6-m)}^2-8(3-2m)>0\\ 2.{(-2)}^2+(6-m).(-2)+3-2m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2+4m+12>0\\ -1\ne 0\end{array}\right.$ (luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm A,B lần lượt là $x_1,x_2$ khi đó: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{m-6}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{3-2m}{2}\end{array}\right.$

Ta có:

$k_1.k_2=\frac{1}{{\left(x_1+2\right)}^2}.\frac{1}{{\left(x_2+2\right)}^2}=\frac{1}{{\left[\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)\right]}^2}$

$=\frac{1}{{\left[x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4\right]}^2}=\frac{1}{{\left[\frac{3-2m}{2}+2.\frac{m-6}{2}+4\right]}^2}$

$=\frac{1}{{\left(\frac{3-2m+2m-12+8}{2}\right)}^2}=4$

Khi đó $P=k_1^{2018}+k_2^{2018}\ge 2{\left|k_1{k}_2\right|}^{1009}={2.4}^{1009}=2^{2019}$

Dấu “=” xảy ra khi $k_1=k_2=2$ hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I của đồ thị (H) hay dd đi qua I(−2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

$\iff I\in d\iff 2=-2.\left(-2\right)+m\iff m=-2$

Đáp án cần chọn là: B

Để đồ thị hàm số (Cm) tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$  thuộc đồ thị hàm số.

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-2\left(m-1\right)x+m-1$

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

$k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=3x_0^2-2\left(m-1\right)x_0+m-1$

Theo bài ra ta có:

$k>0\forall x\in ℝ$

$\iff 3x_0^2-2(m-1)x_0+m-1>0\forall x\in ℝ$

$\iff \left\{\begin{array}{c}3>0\left(luondung\right)\\ \Delta \text{'}={(m-1)}^2-3(m-1)<0\end{array}\right.\forall x\in ℝ$

$\iff m^2-2m+1-3m+3<0$

$\iff m^2-5m+4<0$

$\iff 1<m<4$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{2;3\right\}$

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D

TXĐ:$D=ℝ\setminus \left\{2\right\}$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = 2 và y = 2

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-2}{{\left(x-2\right)}^2}$. Gọi $M\left(m;\frac{2m-2}{m-2}\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M:y=\frac{-2}{{\left(m-2\right)}^2}\left(x-m\right)+\frac{2m-2}{m-2}$

Cho $x=2\Rightarrow y=\frac{-2}{{\left(m-2\right)}^2}\left(2-m\right)+\frac{2m-2}{m-2}$

$\iff y=\frac{2}{m-2}+\frac{2m-2}{m-2}=\frac{2m}{m-2}$

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng x = 2 là $A\left(2;\frac{2m}{m-2}\right)$

Cho $y=2\Rightarrow \frac{-2}{{\left(m-2\right)}^2}\left(x-m\right)+\frac{2m-2}{m-2}=2$

$\begin{array}{l}\iff -2\left(x-m\right)+\left(2m-2\right)\left(m-2\right)=2{\left(m-2\right)}^2\\ \iff -2x+2m+2m^2-6m+4=2m^2-8m+8\\ \iff 2x=4m-4\iff x=2m-2\end{array}$

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng $y=2$ là $B\left(2m-2;2\right)$

Ta có: $AB=2\sqrt{5}\iff {\left(2m-4\right)}^2+{\left(2-\frac{2m}{m-2}\right)}^2=20$

$\iff 4{(m-2)}^2+\frac{16}{{(m-2)}^2}=20$

$\iff {(m-2)}^4-5{(m-2)}^2+4=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{(m-2)}^2=1\\ {(m-2)}^2=4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=3\\ m=1\\ m=4\\ m=0\end{array}\right.$

Vậy $S=3+1+4+0=8$
Đáp án cần chọn là: C

Đường tròn $\left(\gamma \right):x^2+{\left(y-1\right)}^2=4$có tâm $I\left(0;1\right),R=2$

Ta có $A\left(1;1-m\right);y^{\text{'}}=4x^3-4mx\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=4-4m$

Suy ra phương trình $\text{Δ}:y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m$

Dễ thấy $\text{Δ}$ luôn đi qua điểm cố định $F\left(\frac{3}{4};0\right)$ và điểm F nằm trong đường tròn $\left(\gamma \right)$

Gọi $A\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right).$

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt

$M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)\left(M,N\ne A\right)$ có hệ số góc là: $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=4.$

Mặt khác:

$k=f\text{'}\left(x_0\right)\Rightarrow 4=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{14}{3}x\iff x_0^3-7x_0-6=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=-2\\ x_0=-1\\ x_0=3\end{array}\right.$

Kiểm tra lại từng trường hợp $x_0=-2;-1;3$ ta thấy trường hợp $x_0=3$  thì tiếp tuyến chỉ có duy nhất 1 điểm chung với đồ thị nên loại.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D