Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=-2x+m$ cắt đồ thị (H) của hàm số $y=\frac{2x+3}{x+2}$ tại hai điểmA, B phân biệt sao cho $P=k_1^{2018}+k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với $k_1,k_2$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị (H).

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)

$\begin{array}{l}-2x+m=\frac{2x+3}{x+2}\\ \iff \left(x+2\right)\left(-2x+m\right)=2x+3\\ \iff -2x^2+\left(m-4\right)x+2m=2x+3\\ \iff 2x^2+\left(6-m\right)x+3-2m=0\left(\ast \right)\end{array}$

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2  nghiệm phân biệt khác −2

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta ={(6-m)}^2-8(3-2m)>0\\ 2.{(-2)}^2+(6-m).(-2)+3-2m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2+4m+12>0\\ -1\ne 0\end{array}\right.$ (luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm A,B lần lượt là $x_1,x_2$ khi đó: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{m-6}{2}\\ x_1{x}_2=\frac{3-2m}{2}\end{array}\right.$

Ta có:

$k_1.k_2=\frac{1}{{\left(x_1+2\right)}^2}.\frac{1}{{\left(x_2+2\right)}^2}=\frac{1}{{\left[\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)\right]}^2}$

$=\frac{1}{{\left[x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4\right]}^2}=\frac{1}{{\left[\frac{3-2m}{2}+2.\frac{m-6}{2}+4\right]}^2}$

$=\frac{1}{{\left(\frac{3-2m+2m-12+8}{2}\right)}^2}=4$

Khi đó $P=k_1^{2018}+k_2^{2018}\ge 2{\left|k_1{k}_2\right|}^{1009}={2.4}^{1009}=2^{2019}$

Dấu “=” xảy ra khi $k_1=k_2=2$ hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I của đồ thị (H) hay dd đi qua I(−2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

$\iff I\in d\iff 2=-2.\left(-2\right)+m\iff m=-2$

Đáp án cần chọn là: B