Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}\left(C\right)$ Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.

TXĐ: $D=R\setminus \left\{1\right\}$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi $M\left(x_o;y_o\right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

$\text{Δ}:y=y^{\text{'}}\left(x_o\right)\left(x-x_o\right)+y_o=\frac{-1}{{\left(x_o-1\right)}^2}\left(x-x_o\right)+\frac{2x_o-1}{x_o-1}$

Gọi $A\left(x_A;0\right)$ là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục $Ox;B\left(0;y_B\right)$  là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục Oy.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_A=2x_0^2-2x_o+1\\ y_B=\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

⇒ tam giác OAB cân tại O

$\iff OA=OB\iff \left|x_A\right|=\left|y_B\right|$

$\iff \left|2x_0^2-2x_o+1\right|=\left|\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\right|=0$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|2x_0^2-2x_o+1\right|=0\\ 1-\frac{1}{{(x_o-1)}^2}{(x_o-1)}^2=0\end{array}\right.\iff {(x_o-1)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=0\left(tm\right)\\ x_0=2\left(tm\right)\end{array}\right.$

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B