Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+6x^2+9x+3\left(C\right)$ Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OA=2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng $y=-2x+5$ nên có hệ số góc .

Suy ra $y^{\text{'}}=-2$ hay $x^2-4x+1=-2\iff \left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=1,y=\frac{4}{3}\\ x=3,y=-4\end{array}\right.$

Với $x=1;y=\frac{4}{3}$ thì $d_1:y=-2\left(x-1\right)+\frac{4}{3}$ hay $d_1:y=-2x+\frac{10}{3}$
Với $x=3;y=-4$ thì $d_2:y=-2\left(x-3\right)-4$ hay $d_2:y=-2x+2$
Đáp án cần chọn là: A

TXĐ: $D=R\setminus \left\{1\right\}$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi $M\left(x_o;y_o\right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

$\text{Δ}:y=y^{\text{'}}\left(x_o\right)\left(x-x_o\right)+y_o=\frac{-1}{{\left(x_o-1\right)}^2}\left(x-x_o\right)+\frac{2x_o-1}{x_o-1}$

Gọi $A\left(x_A;0\right)$ là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục $Ox;B\left(0;y_B\right)$  là giao điểm của $\text{Δ}$ và trục Oy.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_A=2x_0^2-2x_o+1\\ y_B=\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

⇒ tam giác OAB cân tại O

$\iff OA=OB\iff \left|x_A\right|=\left|y_B\right|$

$\iff \left|2x_0^2-2x_o+1\right|=\left|\frac{2x_0^2-2x_o+1}{{(x_o-1)}^2}\right|=0$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|2x_0^2-2x_o+1\right|=0\\ 1-\frac{1}{{(x_o-1)}^2}{(x_o-1)}^2=0\end{array}\right.\iff {(x_o-1)}^2=1$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=0\left(tm\right)\\ x_0=2\left(tm\right)\end{array}\right.$

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B