Cho x,y∈ℝ và x≠y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2−6xy+6y2x2−2xy+y2 .

Phương pháp: Xét y=0 Xét y≠0 , chia cả tử và mẫu cho y2 . Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng −3. Cách giải: Xét y=0, ta có:P=1 . Xét y≠0, chia cả tử và mẫu của 1 cho y2, ta có: P=xy2−6xy+6xy2−2xy+1 Đặt t=xyt≠1 . Biểu thức P trở thành: P=t2−6t+6t2−2t+1 Ta sẽ đi chứng minh:P≥−3∗ Ta có: t2−6t+6t2−2t+1≥−3 ⇔t2−6t+6≥−3t2+6t−3 ⇔4t2−12t+9≥0 ⇔2t−32≥0 ⇒∗ luôn đúng. Dấu "=" xảy ra ⇔2t−3=0⇔t=32⇔xy=32⇔2x=3y . Vậy minP=−3, đạt được khi 2x=3y .

Câu hỏi:

27/07/2022 273

Cho $x, y \in ℝ$ và $x \neq y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} - 6 x y + 6 y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Xét $y = 0$

Xét $y \neq 0$ , chia cả tử và mẫu cho $y^{2}$ . Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng $- 3$ .

Cách giải:

Xét $y = 0$ , ta có: $P = 1$ .

Xét $y \neq 0$ , chia cả tử và mẫu của $(1)$ cho $y^{2}$ , ta có:

$P = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} - 6 (\frac{x}{y}) + 6}{{(\frac{x}{y})}^{2} - 2 (\frac{x}{y}) + 1}$

Đặt $t = \frac{x}{y} (t \neq 1)$ . Biểu thức $P$ trở thành:

$P = \frac{t^{2} - 6 t + 6}{t^{2} - 2 t + 1}$

Ta sẽ đi chứng minh: $P \geq - 3 (*)$

Ta có:

$\frac{t^{2} - 6 t + 6}{t^{2} - 2 t + 1} \geq - 3$

$\Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 6 \geq - 3 t^{2} + 6 t - 3$

$\Leftrightarrow 4 t^{2} - 12 t + 9 \geq 0$

$\Leftrightarrow {(2 t - 3)}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow (*)$ luôn đúng.

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x = 3 y$ .

Vậy $\min P = - 3$ , đạt được khi $2 x = 3 y$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm $x$ , biết:

$4 x^{2} - 1 - (1 - 2 x) (x + 2) = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp:

Đưa phương trình về dạng tích.

Tìm $x$ , biết:

4 x^{2} - 1 - (1 - 2 x) (x + 2) = 0

\Leftrightarrow (2 x - 1) (2 x + 1) + (2 x - 1) (x + 2) = 0

\Leftrightarrow (2 x - 1) (2 x + 1 + x + 2) = 0

\Leftrightarrow (2 x - 1) (3 x + 3) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 1 = 0 \\ 3 x + 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = 1 \\ 3 x = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = - 1 \end{array}

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{\frac{1}{2}; - 1\}$ .

Câu 2

Cho biểu thức $A = (\frac{3 x}{x - 2} - \frac{2 x^{2} - 5}{x^{2} - 4} - \frac{x - 1}{x + 2}) : \frac{3}{x + 2}$

Rút gọn và tìm điều kiện xác định của .

Xem đáp án

Lời giải

Phương pháp:

Quy đồng mẫu và rút gọn.

Cách giải:

Rút gọn và tìm điều kiện xác định của $A$ .

$A = (\frac{3 x}{x - 2} - \frac{2 x^{2} - 5}{x^{2} - 4} - \frac{x - 1}{x + 2}) : \frac{3}{x + 2}$

DK: $\{\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2 \\ x^{2} - 4 \neq 0 \end{cases}$

$A = (\frac{3 x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{2 x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)}) : \frac{3}{x + 2}$

$A = (\frac{3 x^{2} + 6 x - 2 x^{2} + 5 - x^{2} + x + 2 x - 2}{(x - 2) (x + 2)}) : \frac{3}{x + 2}$

$A = \frac{9 x + 3}{(x - 2) (x + 2)} . \frac{x + 2}{3}$

$A = \frac{3 (3 x + 1)}{(x - 2) (x + 2)} . \frac{x + 2}{3}$

$A = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Câu 3

Hình vuông có đường chéo bằng 4 thì cạnh của nó bằng:

A.2

B.8

C.4

D. $\sqrt{8}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ , kẻ $D E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A C, D I$ cắt $A C$ tại $F$ .

Chứng minh tứ giác $A E D F$ là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giá trị của phân thức $\frac{x + 1}{2 x - 6}$ được xác định khi:

A. $x \neq 3$

B. $x \neq 1$

C. $x \neq - 3$

D. $x \neq - 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tổng hai phân thức $\frac{x + 3}{2 x - 1}$ và $\frac{4 - x}{1 - 2 x}$ bằng phân thức nào sau đây:

A. $\frac{7}{2 x - 1}$

B.1

\frac{7}{1 - 2 x}

D. $- 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ , kẻ $D E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A C, D I$ cắt $A C$ tại $F$ .

Tam giác $A B C$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $A B C I$ là hình thang cân. Hãy tính trong trường hợp này biết $A D = 8 c m$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x,y∈ℝ và x≠y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2−6xy+6y2x2−2xy+y2 .

Tìm x , biết: 4x2−1−1−2xx+2=0

Cho biểu thức A=3xx−2−2x2−5x2−4−x−1x+2:3x+2 Rút gọn và tìm điều kiện xác định của .

Hình vuông có đường chéo bằng 4 thì cạnh của nó bằng:

Cho ΔABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của BC , kẻ DE vuông góc với AB tại E . Gọi I là điểm đối xứng với D qua AC,DI cắt AC tại F . Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Giá trị của phân thức x+12x−6 được xác định khi:

Tổng hai phân thức x+32x−1và 4−x1−2xbằng phân thức nào sau đây:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $x, y \in ℝ$ và $x \neq y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} - 6 x y + 6 y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ .

Tìm $x$ , biết:

$4 x^{2} - 1 - (1 - 2 x) (x + 2) = 0$

Cho biểu thức $A = (\frac{3 x}{x - 2} - \frac{2 x^{2} - 5}{x^{2} - 4} - \frac{x - 1}{x + 2}) : \frac{3}{x + 2}$

Rút gọn và tìm điều kiện xác định của .

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ , kẻ $D E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A C, D I$ cắt $A C$ tại $F$ .

Chứng minh tứ giác $A E D F$ là hình chữ nhật.

Giá trị của phân thức $\frac{x + 1}{2 x - 6}$ được xác định khi:

Tổng hai phân thức $\frac{x + 3}{2 x - 1}$ và $\frac{4 - x}{1 - 2 x}$ bằng phân thức nào sau đây: