Cho x,y∈ℝ và x≠y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2−6xy+6y2x2−2xy+y2 .

Phương pháp: Xét y=0 Xét y≠0 , chia cả tử và mẫu cho y2 . Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng −3. Cách giải: Xét y=0, ta có:P=1 . Xét y≠0, chia cả tử và mẫu của 1 cho y2, ta có: P=xy2−6xy+6xy2−2xy+1 Đặt t=xyt≠1 . Biểu thức P trở thành: P=t2−6t+6t2−2t+1 Ta sẽ đi chứng minh:P≥−3∗ Ta có: t2−6t+6t2−2t+1≥−3 ⇔t2−6t+6≥−3t2+6t−3 ⇔4t2−12t+9≥0 ⇔2t−32≥0 ⇒∗ luôn đúng. Dấu "=" xảy ra ⇔2t−3=0⇔t=32⇔xy=32⇔2x=3y . Vậy minP=−3, đạt được khi 2x=3y .

Câu hỏi:

27/07/2022 161

Cho $x, y \in ℝ$ và $x \neq y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2} - 6 x y + 6 y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

Xét $y = 0$

Xét $y \neq 0$ , chia cả tử và mẫu cho $y^{2}$ . Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng $- 3$ .

Cách giải:

Xét $y = 0$ , ta có: $P = 1$ .

Xét $y \neq 0$ , chia cả tử và mẫu của $(1)$ cho $y^{2}$ , ta có:

$P = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} - 6 (\frac{x}{y}) + 6}{{(\frac{x}{y})}^{2} - 2 (\frac{x}{y}) + 1}$

Đặt $t = \frac{x}{y} (t \neq 1)$ . Biểu thức $P$ trở thành:

$P = \frac{t^{2} - 6 t + 6}{t^{2} - 2 t + 1}$

Ta sẽ đi chứng minh: $P \geq - 3 (*)$

Ta có:

$\frac{t^{2} - 6 t + 6}{t^{2} - 2 t + 1} \geq - 3$

$\Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 6 \geq - 3 t^{2} + 6 t - 3$

$\Leftrightarrow 4 t^{2} - 12 t + 9 \geq 0$

$\Leftrightarrow {(2 t - 3)}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow (*)$ luôn đúng.

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x = 3 y$ .

Vậy $\min P = - 3$ , đạt được khi $2 x = 3 y$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Tìm $x$ , biết:

$4 x^{2} - 1 - (1 - 2 x) (x + 2) = 0$

Xem đáp án » 27/07/2022 1,651

Câu 2:

Cho biểu thức $A = (\frac{3 x}{x - 2} - \frac{2 x^{2} - 5}{x^{2} - 4} - \frac{x - 1}{x + 2}) : \frac{3}{x + 2}$

Rút gọn và tìm điều kiện xác định của .

Xem đáp án » 27/07/2022 912

Câu 3:

Hình vuông có đường chéo bằng 4 thì cạnh của nó bằng:

A.2

B.8

C.4

D. $\sqrt{8}$

Xem đáp án » 27/07/2022 850

Câu 4:

Giá trị của phân thức $\frac{x + 1}{2 x - 6}$ được xác định khi:

A. $x \neq 3$

B. $x \neq 1$

C. $x \neq - 3$

D. $x \neq - 1$

Xem đáp án » 26/07/2022 830

Câu 5:

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ , kẻ $D E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A C, D I$ cắt $A C$ tại $F$ .

Chứng minh tứ giác $A E D F$ là hình chữ nhật.

Xem đáp án » 27/07/2022 827

Câu 6:

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ , kẻ $D E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A C, D I$ cắt $A C$ tại $F$ .

Tam giác $A B C$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $A B C I$ là hình thang cân. Hãy tính trong trường hợp này biết $A D = 8 c m$ .

Xem đáp án » 27/07/2022 559

Câu 7:

Tổng hai phân thức $\frac{x + 3}{2 x - 1}$ và $\frac{4 - x}{1 - 2 x}$ bằng phân thức nào sau đây:

A. $\frac{7}{2 x - 1}$

B.1

C.

\frac{7}{1 - 2 x}

D. $- 1$

Xem đáp án » 27/07/2022 556

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x,y∈ℝ và x≠y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2−6xy+6y2x2−2xy+y2 .

Tìm x , biết: 4x2−1−1−2xx+2=0

Cho biểu thức A=3xx−2−2x2−5x2−4−x−1x+2:3x+2 Rút gọn và tìm điều kiện xác định của .

Hình vuông có đường chéo bằng 4 thì cạnh của nó bằng:

Giá trị của phân thức x+12x−6 được xác định khi:

Cho ΔABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của BC , kẻ DE vuông góc với AB tại E . Gọi I là điểm đối xứng với D qua AC,DI cắt AC tại F . Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Tổng hai phân thức x+32x−1và 4−x1−2xbằng phân thức nào sau đây:

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!