Câu hỏi:

02/08/2022 180

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}}$ là

A. $\frac{3}{8}$

B. $\frac{4}{9}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối chóp !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

$\Rightarrow \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 3 \vec{G O}$

$\Rightarrow \vec{G A} + 3 \vec{G O} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - 3 \vec{G O}$

$\Rightarrow \frac{A G}{A O} = \frac{3}{4}$

Media VietJack

Trong (ABE) gọi $F = B G \cap A E (F \in A E)$

Lấy $M \in A C$ trong (ACD) gọi $N = M F \cap A D (N \in A D)$ khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

$\frac{G A}{G O} . \frac{B O}{B E} . \frac{F E}{F A} = 1 \Rightarrow 3. \frac{2}{3} . \frac{F E}{F A} = 1 \Rightarrow \frac{F E}{F A} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A F}{A E} = \frac{2}{3} \Rightarrow F$ là trọng tâm tam giác ACD.

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt $\frac{A M}{A C} = x (0 < x < 1)$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:

\frac{M A}{M C} . \frac{H C}{H E} . \frac{F E}{F A} = 1 \Rightarrow \frac{x}{1 - x} . \frac{H C}{H E} . \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{H C}{H E} = \frac{2 (1 - x)}{x}

\Rightarrow H E = \frac{x}{2 (1 - x)} H C

\Rightarrow H C + C E = \frac{x}{2 (1 - x)} H C

\Rightarrow C E = \frac{3 x - 2}{2 (1 - x)} H C

Ta có:

\begin{array}{l} H D = H C + 2 C E \\ = H C + \frac{3 x - 2}{1 - x} H C = \frac{2 x - 1}{1 - x} H C \\ \Rightarrow \frac{H E}{H D} = \frac{x}{2 (1 - x)} : \frac{2 x - 1}{1 - x} = \frac{x}{2 (2 x - 1)} \end{array}

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

\begin{array}{l} \frac{F A}{F E} . \frac{H E}{H D} . \frac{N D}{N A} = 1 \Rightarrow 2. \frac{x}{2 (2 x - 1)} . \frac{N D}{N A} = 1 \\ \Rightarrow \frac{N D}{N A} = \frac{2 x - 1}{x} \Rightarrow \frac{N A}{N D} = \frac{x}{2 x - 1} \\ \Rightarrow \frac{N A}{N A + N D} = \frac{x}{x + 2 x - 1} = \frac{x}{3 x - 1} \\ \Rightarrow \frac{A N}{A D} = \frac{x}{3 x - 1} \end{array}

Khi đó ta có $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}} = \frac{A M}{A C} . \frac{A N}{A D} = x . \frac{x}{3 x - 1} = \frac{x^{2}}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1} (x > \frac{1}{3})$ ta có

f^{'} (x) = \frac{2 x (3 x - 1) - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}; f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 (k t m) \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix}

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta thấy $\min_{(\frac{1}{3}; + \infty)} f (x) = f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}} = \frac{4}{9}$
Đáp án cần chọn là: B

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3}}{27}$

D. $\frac{a^{3}}{9}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,832

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,065

Câu 3:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}$

B. $\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}$

C. $\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}$

D. $4 c m^{3}$

Xem đáp án » 01/08/2022 2,064

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, $∠ B A D = 60^{0}, S A = S C$ và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất $V_{0}$ của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $V_{0} = \frac{8 \sqrt{3}}{21}$

C. $V_{0} = \frac{2 \sqrt{3}}{7}$

D. $V_{0} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

Xem đáp án » 02/08/2022 2,013

Câu 5:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $4 a^{3} \sqrt{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án » 02/08/2022 1,880

Câu 6:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án » 02/08/2022 1,155

Câu 7:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng $Q = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} + M S^{2}$ nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và $V_{2}$ là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ bằng

A. $\frac{11}{140}$

B. $\frac{22}{35}$

C. $\frac{11}{70}$

D. $\frac{11}{35}$

Xem đáp án » 02/08/2022 935

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}}$ là

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn GA→+GB→+GC→+GD→=0→. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số VABMNVABCD là

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SA⊥ABCD và AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm2, diện tích một mặt bên là 83cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích V=a336. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{A B M N}}{V_{A B C D}}$ là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $S B = a$ , SC hợp với (SAB) một góc 30⁰ và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích khối chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B = 2 A D = 2 C D = 2 a = \sqrt{2} S A$ . Thể tích khối chóp S.BCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là $16 c m^{2}$ , diện tích một mặt bên là $8 \sqrt{3} c m^{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ . Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?