Đề thi thử Toán vào lớp 10 năm 2026-2027 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (TP Hồ Chí Minh)

Câu 3: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có AB > AC và góc BAC > 90 độ. Vẽ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường tròn tâm D đường kính AB và đường tròn tâm E đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn (E) tại F (F khác A); đường thẳng AC cắt đường tròn (D) tại G (G khác A). Các đường thẳng BG và CF cắt nhau tại K.

a. Chứng minh các điểm A, H, K thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác FGH đi qua điểm D.

b. Trên tia đối của tia HB lấy điểm M sao cho HB = HM . Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AM và CK. Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCK tại điểm P (P khác K). Hai đường thẳng BP và HN cắt nhau tại Q. Chứng minh H là trung điểm của đoạn thẳng NQ.

Câu 4: (2 điểm)

1. Cho a và b là hai số nguyên dương phân biệt bé hơn 2027 thỏa mãn a^2 + 1 b^2 + 1 là hai số chia hết cho 2027. Chứng minh ab - 1 chia hết cho 2027.

2. Cho tập hợp S = {1; 2; ...; 2026} và tập hợp A là tập hợp con chứa ít nhất 3 phần tử của S. Biết rằng ba số phân biệt bất kì thuộc tập hợp A luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh tập hợp A có nhiều nhất 1004 phần tử.