Cho đường tròn (O; 6cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10cm. Qua M kẻ tiếp tuyến với (O). Khi đó khoảng cách từ M đến tiếp điểm là :

a) Ta có: $\cos \widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC.\cos \widehat{BAC}=5.\cos {60}^0=\frac{5}{2}cm$

b) Ta có: $OH\perp AC$ tại H và $H\in \left(O\right)\Rightarrow AC$là tiếp tuyến của (O)

c) $R=OB=\frac{BH}{2}=\frac{AB.\sin 60}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}\left(cm\right)$

Gọi $OP\perp AB\left(P\in AB\right);\frac{AH}{AB}=\cos \widehat{BAH}$

$\Rightarrow AH=AB.\cos \widehat{BAH}=\frac{5}{2}.\cos {60}^0=\frac{5}{4}\left(cm\right)$

Xét $\Delta BPO$ và $\Delta BHA$ có: $\widehat{B}$ chung; $\widehat{P}=\widehat{H}={90}^0$$\Rightarrow \Delta BPO~\Delta BHA(g.g)$

$\Rightarrow \frac{OP}{AH}=\frac{OB}{AB}$ hay $\frac{OP}{\frac{5}{4}}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{4}}{\frac{5}{2}}\Rightarrow OP=\frac{5\sqrt{3}}{8}\left(cm\right)$

d) Nối $MH\Rightarrow HM\perp AB$(do BH đường kính)

$\Rightarrow A{H}^2=AM.AB$ (hệ thức lượng) mà AH = AK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow A{K}^2=AM.AB\Rightarrow \frac{AK}{AM}=\frac{AB}{AK}$

Xét $\Delta AKM$ và $\Delta ABK$ có: $\frac{AK}{AM}=\frac{AB}{AK}\left(cmt\right);\widehat{KAB}$ chung$\Rightarrow \Delta AKM~\Delta ABK(c.g.c)$