Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song. Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0² + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x₁ = –15 và x₂ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)² + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2 (1)

a.15² + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}225a - 15b = 4,2\\225a + 15b = 4,2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{{375}}\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol cần tìm là: \(y = \frac{7}{{375}}{x^2} + 0,8\)

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.1,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.1,5}^2} + 0,8} \right) = 0,8841\) (m)

Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.3^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.3}^2} + 0,8} \right) = 1,0164\) (m)

Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.4,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.4,5}^2} + 0,8} \right) = 1,2369\) (m)

Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.6^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.6}^2} + 0,8} \right) = 1,5456\) (m)

Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.7,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.7,5}^2} + 0,8} \right) = 1,9425\) (m)

Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.9^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.9}^2} + 0,8} \right) = 2,4276\) (m)

Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.10,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.10,5}^2} + 0,8} \right) = 3,0009\)(m)

Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.12^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.12}^2} + 0,8} \right) = 3,6624\)(m)

Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.13,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.13,5}^2} + 0,8} \right) = 4,4121\)(m)

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

2.0,84 + 4 . (0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 103,194 (m).