Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi A và B là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và cổng có chiều rộng d = 5 m nên:

AB = 5 và hoành độ của A và B lần lượt là \( - \frac{5}{2},\,\,\frac{5}{2}\).

Ta có: \(y = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 25}}{8}\)

Do đó, \(A\left( {\frac{{ - 5}}{2};\frac{{ - 25}}{8}} \right)\) và \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{{ - 25}}{8}} \right)\).

Chiều cao của cổng chính là giá trị tuyệt đối tung độ của A và B hay h = \(\left| {\frac{{ - 25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) (m).

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, khoảng cách giữa các dây bằng nhau và có 20 khoảng cách nên mỗi khoảng cách ứng với 1,5 m.

Gọi dạng parabol của thành cầu là đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0,8) nên ta có:

a.0² + b.0 + c = 0,8 ⇒ c = 0,8

Tại hai đầu cầu, tức y = 5 thì ta có hai giá trị x thỏa mãn là x₁ = –15 và x₂ = 15

Từ đó ta có:

a.(–15)² + b.(–15) + 0,8 = 5 ⇒ 225a – 15b = 4,2 (1)

a.15² + b.15 + 0,8 = 5 ⇒ 225a + 15b = 4,2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}225a - 15b = 4,2\\225a + 15b = 4,2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{{375}}\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol cần tìm là: \(y = \frac{7}{{375}}{x^2} + 0,8\)

Độ dài mỗi dây ở vị trí hoành độ tương ứng là:

Tại x = 0, độ dài dây là: 0,8 + 5%.0,8 = 0,84 (m)

Tại x = 1,5 và x = –1,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.1,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.1,5}^2} + 0,8} \right) = 0,8841\) (m)

Tại x = 3 và x = –3 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.3^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.3}^2} + 0,8} \right) = 1,0164\) (m)

Tại x = 4,5 và x = –4,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.4,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.4,5}^2} + 0,8} \right) = 1,2369\) (m)

Tại x = 6 và x = –6 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.6^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.6}^2} + 0,8} \right) = 1,5456\) (m)

Tại x = 7,5 và x = –7,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.7,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.7,5}^2} + 0,8} \right) = 1,9425\) (m)

Tại x = 9 và x = –9 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.9^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.9}^2} + 0,8} \right) = 2,4276\) (m)

Tại x = 10,5 và x = –10,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.10,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.10,5}^2} + 0,8} \right) = 3,0009\)(m)

Tại x = 12 và x = –12 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.12^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.12}^2} + 0,8} \right) = 3,6624\)(m)

Tại x = 13,5 và x = –13,5 thì độ dài dây là:

\(\frac{7}{{375}}{.13,5^2} + 0,8 + 5\% .\left( {\frac{7}{{375}}{{.13,5}^2} + 0,8} \right) = 4,4121\)(m)

Tại x = 15 và x = –15 thì độ dài dây là:

5 + 5%.5 = 5,25 (m)

Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của cầu là:

2.0,84 + 4 . (0,8841 + 1,0164 + 1,2369 + 1,5456 + 1,9425 + 2,4276 + 3,0009 + 3,6624 + 4,4121 + 5,25) = 103,194 (m).