Câu hỏi:

12/07/2024 842

Cho ΔABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; và M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA, AE, EF, FD.

a) Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC

b) Chứng minh: Các tứ giác DAEF; MNPQ là hình bình hành

c) Khi tam giác ABC vuông tại A thì các tứ giác DAEF; MNPQ là hình gì ? Chứng minh?

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNPQ là hình vuông?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho ΔABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; và M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA, AE, EF, FD. (ảnh 1)

a) Ta có E là trung điểm AC, F là trung điểm BC nên EF là đường trung bình ΔABC  

b) Ta có EF là đường trung bình ΔABC (cmt) EF//AB   &   EF=12AB mà D là trung điểm AB nên EF=ADEF//ADADFE là hình bình hành

Xét ΔADE có M, N lần lượt là trung điểm AD, AE MN//DE  &   MN=12DE

Cmtt PQ//DE   &   PQ=12DEPQ=MN   &  PQ//MNPQMN là hình bình hành

c) Khi ΔABC vuông tại A thì A^=90°Hình bình hành DAEF có A^=90° nên DAEF là hình chữ nhật.

Khi A^=90° thì DAEF là hình chữ nhật AF=DE  

Mặt khác, theo tính chất đường trung bình ta có MN=12DE,NP=12AF khi đó MN = NP

=> MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi

d) ΔABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi. Để MNPQ là hình vuông thì MNNP

MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)

Nên DEAF mà DE // BC (tính chất đường trung bình)AFBC

Suy ra ΔABC vuông tại A có AF là vừa đường trung tuyến, vừa đường cao

Nên ΔABC vuông cân tại A

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E và K sao cho BE = DK (ảnh 1)
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vậy OA = OC, OB = OD mà BE = DK
OK=OEAKDE là hình bình hành.
b) Để AKCE là hình thoi thì ACKEACBD
Vậy ABCD là hình thoi thì AKCE là hình thoi
c) Để M là trung điểm DC thì K là trọng tâm ΔABC
DK=23DO mà DO=12DBDK=13DB

Lời giải

cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC)  M là trung điểm của  AB, P là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MP vuông AB (ảnh 1)

a) Tứ giác AQBP có QPAB,AM=MB,QM=MPAQBP là hình thoi

b) Ta có: AQ//EC (cùng //BPdoAQBP là hình thoi) và QE//AC (cùng AB)

QACE là hình bình hành

c) Vì AQBP là hình thoi nên MP=12PQ(1)

Ta có: BP//EC(gt);BP=EC(=QA)BPCE là hình bình hành nên PE cắt BC tại trung điểm N mỗi đường nên NP=12PE(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: MP+NP=12PQ+PEMN=12QE

Mà QE = AC (tính chất hình bình hành) nên AC = 2MN

d) AN=5cmBC=10cm (Do N là trung điểm BC và AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

MN=3cmAC=6cmAB=BC2AC2=10262=8cm(Áp dụng Pytago)

Nên chu vi ΔABC:AB+AC+BC=8+6+10=24cm