Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}$ và y = 1 bằng

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = x³ + ax² + bx + c

Þ f '(x) = 3x² + 2ax + b

Þ f "(x) = 6x + 2a

Þ g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

= x³ + ax² + bx + c + 3x² + 2ax + b + 6x + 2a

= x³ + (a + 3)x² + (2a + b + 6)x + 2a + b + c

Þ g '(x) = 3x² + 2(a + 3)x + 2a + b + 6

Hàm số g '(x) = 0 có 2 nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂) cũng là 2 điểm cực trị của y = g(x)

Nên g(x₁) = 2; g(x₂) = –4 (do g(x) là hàm số bậc ba có hệ số của x³ là 1 > 0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

 $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}=1$  

$\iff \frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)-6}{g\left(x\right)+6}=0$

Ta có g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

Þ f(x) – g(x) = –[f '(x) + f "(x)]

 = –(3x² + 2ax + b + 6x + 2a)

= –[3x² + (2a + 6)x +  b + 2a]

Do đó ta có:

$\iff \frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)-6}{g\left(x\right)+6}=0$

$\iff \frac{–\left[3x^2+\left(2a+6\right)x+ b+2a\right]-6}{g\left(x\right)+6}=0$

$\iff \frac{3x^2+2\left(a+3\right)x+2a+b+6}{g\left(x\right)+6}=0$

$\iff \frac{g^{\text{'}}\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}=0$

Û g '(x) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1\\ x=x_2\end{array}\right.$

Þ S = $\left|\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}dx\right|$ = $\left|\ln {\left.\left|g\right(x)+6|\right|}_{x_1}^{x_2}\right|$ 

= |ln|g(x₂) + 6| – ln|g(x₁) + 6||

= |ln(−4 + 6) – ln(2 + 6)|

= |ln2 – ln8|

= ln8 – ln2

= 3ln2 – ln2

= 2ln2

Vậy diện tích cần tìm là 2ln2.