Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm K đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF

b) Chứng minh $AE.AB=AF.AC$

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số $\frac{OK}{BC}$ khi tứ giác OHBC nội tiếp.

a) Ta có $\angle BEC=\angle BFC={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \angle AEH=\angle AFH={90}^0$ (kề bù) $\Rightarrow \angle AEH+\angle AFH={90}^0+{90}^0={180}^0$ nên tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Xét $\Delta AFB$ và $\Delta AEC$ có : $\angle Achung;\angle AEH=\angle AFB={90}^0$

$\Rightarrow \Delta AFB~\Delta AE\text{}C(g-g)\Rightarrow \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$ (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AF.AC=AB.AE\left(dfcm\right)$

c) Khi OHBC nội tiếp $\Rightarrow \angle BHC=\angle BOC$ mà $\angle BHC=\angle EHF$ (đối đỉnh)

mà  $\angle EAF+\angle EHF={180}^0$ (tính chất tứ giác nội tiếp) nên $\angle EAC+\angle BOC={180}^0$

mà $\angle BOC=2\angle BAC$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC})$

$\Rightarrow \angle BOC={120}^0\Rightarrow \angle BOK={60}^0$

$\Delta BOK$ vuông tại K (tính chất đường kính dây cung)

Ta có : $\Delta BOK$ vuông tại K có $\widehat{O}={60}^0$

$\Rightarrow \frac{OK}{BK}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ mà $BC=2BK\Rightarrow BK=\frac{BC}{2}$