Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm K đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và xác định tâm đường tròn ngoại...

a) Ta có ∠BEC=∠BFC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒∠AEH=∠AFH=900 (kề bù) ⇒∠AEH+∠AFH=900+900=1800 nên tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp b) Xét ΔAFB và ΔAEC có : ∠A chung; ∠AEH=∠AFB=900 ⇒ΔAFB~ΔAEC(g−g)⇒AFAB=AEAC (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒AF.AC=AB.AE(dfcm) c) Khi OHBC nội tiếp ⇒∠BHC=∠BOC mà ∠BHC=∠EHF (đối đỉnh) mà ∠EAF+∠EHF=1800 (tính chất tứ giác nội tiếp) nên ∠EAC+∠BOC=1800 mà ∠BOC=2∠BAC (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn BC⏜) ⇒∠BOC=1200⇒∠BOK=600 ΔBOK vuông tại K (tính chất đường kính dây cung) Ta có : ΔBOK vuông tại K có O^=600 ⇒OKBK=13 mà BC=2BK⇒BK=BC2 ⇒OKBK=OKBC2=13⇔2OKBC=13⇔OKBC=123=36