Hình bên mô tả một chiếc thang đứng hình chữ A là tam giác ABC. Do chiếc thang hơi ngắn nên một người thợ đã nối thêm 2 thanh gỗ bằng nhau BM và CN lần lượt vào hai cạnh AB, AC. Để giữ thăng bằng và cố định chiếc thang nên người thợ này muốn đóng thêm 2 thanh gỗ bằng nhau là BN và CM. Biết BC = 0,6 m, MN = 0,9 m. Em hãy cho biết độ dài thanh gỗ BN cần dài ít nhất bao nhiêu là hợp lí?

Đáp án đúng là: D

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và BM = CN (giả thiết).

Suy ra AB + BM = AC + CN.

Do đó AM = AN.

Suy ra ∆AMN cân tại A.

Vì vậy$\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$.

Ta có $\widehat{MAN}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $2\widehat{AMN}=180°-\widehat{MAN}$.

Do đó $\widehat{AMN}=\frac{180°-\widehat{MAN}}{2}$  (1).

Ta có ∆ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $2\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}$

Do đó $\widehat{ABC}=\frac{180°-\widehat{MAN}}{2}$   (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Khi đó ta có BC // MN.

Kẻ AH ⊥ BC tại H. Suy ra AH ⊥ MN

Giả sử AH ⊥ MN tại K.

Xét ∆ABH và ∆ACH, có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$.

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do ∆ABC cân tại A).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HB = HC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó H là trung điểm BC.

Khi đó ta có $BH=\frac{1}{2}BC$.

Tương tự ta có $KN=\frac{1}{2}MN$.

Gọi O là giao điểm của BN và AK.

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ta có:

BO > $BH=\frac{1}{2}BC$ và ON > $KN=\frac{1}{2}MN$.

Suy ra BN = BO + ON > $\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}MN$

Mà $\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}MN=\frac{\mathrm{0,6}}{2}+\frac{\mathrm{0,9}}{2}=\mathrm{0,75}$.

Do đó BN > 0,75 (m).

Vì 0,8 (m) > 0,75 (m).

Nên ta chọn đáp án D.